[Me he decidido a opinar a pesar de que yo no soy ni experiencia particular en las matemáticas o de la pedagogía. Pero, ahora se siente como un buen momento para posponer las cosas del trabajo...]
Es posible aprender razonable trozos del siglo 20 en matemáticas sin saber lo que es un derivado. Por ejemplo, vamos a tomar abstracto de la geometría algebraica: la mayoría de Grothendieck de la teoría (como ha sido desarrollado por EGA/Hartshorne) requiere de varios requisitos previos (teoría de la gavilla, álgebra homológica, topología general, conmutativa de los anillos), pero en particular, no de cálculo. Una avanzados de pregrado (que ha estudiado todo esto y mucho más) me dijo una vez que él no sabía que la definición de la función exponencial. Se podría objetar que la topología general creció a partir de las preguntas fundamentales en el análisis, que a su vez surgió de cálculo; sin embargo, se puede definir el requisito de nociones (espacios topológicos, la continuidad, la unidad) a partir de primeros principios. De hecho, hay que esencialmente no hay requisitos previos para el inicio de topología general, interpretado adecuadamente. Del mismo modo, álgebra abstracta puede ser estudiado desde ingenua teoría de conjuntos, a partir de la definición de un grupo.
Ahora, muchos de los resultados importantes en la geometría algebraica hacer depender de métodos analíticos; para elegir un ejemplo, el de Kodaira de fuga teorema puede ser formulada como una puramente algebraica de declaración sobre la suave variedades proyectivas sobre un campo de característica cero. Pero, la prueba usual de los usos complejos métodos analíticos (Hodge teoría), y el cálculo es sin duda un requisito lógico para ellos. No obstante, vamos a decir que quería shun cada parte de la geometría algebraica que dependía de análisis; todavía hay un montón de cosas interesantes para pensar.
(Tal vez de Kodaira de fuga no es el mejor ejemplo: Deligne y Illusie al parecer se encuentra puramente algebraica de la prueba, pero sólo varias décadas más tarde.)
Así que tiene sentido todavía, a saber cálculo? Creo que la respuesta es claramente sí , incluso si usted se cae en la línea dura de la categoría anterior. Más en general, ayuda a tener un conocimiento del contexto histórico de las ideas.
Matemáticas tiende a ser fuertemente de polinización cruzada: las ideas de un campo de fecundar a otra. Muchas de las mejores ideas en un campo están inspirados en los de otros campos, incluso si en el producto final (la versión pulida, que aparece en documentos o libros de texto). Hace poco estuve leyendo un artículo sobre la teoría de los números que afirmó estar inspirado por un argumento de Witten para la muy no-número de la teoría de Morse de las desigualdades.
He aquí un ejemplo: hay una noción (como Pete Clark menciona) de una derivación de un álgebra: es un mapa en el que se comporta como ordinario de la diferenciación que hace, es decir, satisface la regla de Leibniz. Es muy posible definir una derivación de manera abstracta y memorizar la definición como tal, sin entender de dónde vino, por supuesto, cálculo -- y trabajar con ella.
De hecho, es posible tratar cualquier idea matemática de esta manera-como un asunto puramente autónomo, aislado concepto. Pero la mayoría de nosotros (incluyéndome a mí) sería instintivamente retroceso en este.
En general, cuando se enfrenta con un conjunto de axiomas, uno se pregunta por qué están allí. Nadie puede soñar una estructura matemática, pero sólo algunos son interesantes; aquellos que son de interés son generalmente debido a que los axiomas son la intención de modelar alguna idea. Por ejemplo, el modelo para los grupos de simetrías o transformaciones de un objeto. Si usted es consciente de esto, entonces, la idea de un grupo de representación se vuelve más intuitivo que si usted piensa en un grupo exclusivamente a través de su definición literal como un conjunto estructurado de una manera particular.
Matemáticas, históricamente, no procede de lo general a lo específico, pero de lo particular a lo general. (Y de vuelta a lo específico, a veces.) Proyectivas y afines variedades de vino antes de esquemas, $\mathbb{Z}[i]$ vinieron antes que en general los dominios de Dedekind, y la integración en euclidiana espacios de vino antes de la moderna teoría de la medida. "Categorías" puede ser fundamental material, sino que se han inventado para entender mejor la topología algebraica -- un sistema bien establecido de la disciplina.
Es imposible, por supuesto, aprender matemáticas en orden histórico; no hay suficiente tiempo en la vida de uno, y a menudo hay atajos que se pueden tomar para la comprensión de material clásico con una mejor comprensión moderna. Pero si usted quiere entender y trabajar con los axiomas en las modernas estructuras matemáticas, parece natural que usted debe tener algún conocimiento de cómo la gente se decidió a poner en.
(De hecho, en todos los ejemplos anteriores, los axiomas de la correspondiente modernas estructuras (esquemas, las medidas, los dominios de Dedekind) son precisamente los que pretende modelo de las características esenciales de los ejemplos clásicos.)
En resumen: es posible tratar de matemáticas únicamente como un juego sin sentido marcas en el papel, desprovisto de la historia y la cultura, en cuyo caso ignorar algo como el cálculo es probablemente factible, al menos si nos atenemos a la adecuada subcampos. (Disculpas a David Hilbert y Zev Chonoles: no apoya este enfoque, pero tengo que recoger a la cita.) Pero esto me parece ni un sonido enfoque ni satisfactoria.
