¿Transformada de Fourier es un isomorfismo entre los espacios de $L^p$ $p \neq 2$?

Question

Se sabe que la transformada de Fourier $\mathcal F$ mapas de $L^2 \to L^2$ (isométrica) isomorfismo y $L^1 \to L^\infty$ delimitada operador. A través de Riesz-Thorin este resultado puede extenderse a dar ese $\mathcal F$ también mapas de $L^p \to L^{p'}$ donde $1 = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$ como un operador acotado, es decir, el Hausdorff-Jóvenes de la igualdad se tiene: $$ \|\mathcal F(u) \|_{p'} \leq \|u\|_p $$ para todos $u \in L^p(\mathbb{R}^n)$, $p \in (1,2)$.

¿Cómo sabemos que la transformada de Fourier es sólo un isomorfismo de $L^2 \to L^2$? Uno podría argumentar que el no $L^p$ espacio es isomorfo a un $L^q$ espacio para $p \neq q$ el uso de los invariantes del tipo y cotype como se sugiere aquí , pero, teniendo en cuenta que yo sólo quiero mostrar que $\mathcal F$ no es un isomorfismo de $L^p \to L^{p'}$, supongo que hay un enfoque más simple directamente relacionada con la transformada de Fourier. Estoy pensando que muestra la transformada de fourier de $L^p \to L^{p'}$ es simplemente no surjective.

Puede usted pensar en un acercamiento más fácil a este problema?

Answer 1

Aquí es un (modificado) el argumento que he utilizado en varias ocasiones en un papel de mina. Posiblemente, esta es una forma de tipo y cotype argumento (no estoy demasiado familiarizado con estos conceptos), pero tal vez es elemental suficiente para usted:

Voy a hacer uso extensivo de la desigualdad de Khintchine, que establece que si $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_N$ son independientes y se distribuyen de manera uniforme en $\{1, -1\}$, luego tenemos $$ \mathbb{E} \left|\sum_{n=1}^N \varepsilon_n x_n\right|^p \asymp \left(\sum_{n=1}^N |x_n|^2\right)^p , $$ para arbitrario $x_1,\dots, x_N \in \Bbb{C}$. Aquí, $\Bbb{E}$ denota el valor esperado con respecto a $\varepsilon = (\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_N)$. Es crucial que las constantes anteriores son independientes de $x_1,\dots, x_N$ e de $N$; sólo depende de la elección de $p \in (0,\infty)$.

Ahora, suponga que $\mathcal{F} : L^p \to L^q$ es un isomorfismo. Primero vamos a descartar el caso de $q = \infty$: Si tuviéramos $q=\infty$, entonces no sería un poco de $f \in L^p$$\widehat{f} \equiv 1$, donde escribo $\widehat{f} = \mathcal{F}f$. Pero también tenemos $\widehat{\delta_0} \equiv 1$, donde estamos utilizando el formalismo de templado de distribuciones, y donde $\delta_0$ es la medida de Dirac en el origen. Pero esto implica $f = \delta_0$ como templado distribuciones, lo cual es absurdo.

Por lo tanto $q \in (0,\infty)$. Ahora, vamos a $\varepsilon_1,\dots, \varepsilon_N$ anterior. Para $n \in \Bbb{N}$, vamos a $y_n := (n,0,\dots,0) \in \Bbb{R}^d$, y establecer $f_n := T_{y_n} 1_{(0,1)^d}$ donde $(T_y f)(x) = f(x-y)$. Tenga en cuenta que $\widehat{f_n} = M_{-y_n} \widehat{f}$ $f := 1_{(0,1)}$ donde $M_\xi f(x) = e^{2\pi i \langle x, \xi \rangle} f(x)$ denota la modulación de la $f$. Finalmente, se observa que los soportes de $f_n, f_m$ son distintos para $n \neq m$. En conjunto, estas propiedades implican \begin{align*} N^{q/p} = \Bbb{E} \, \left\| \sum_{n=1}^N \varepsilon_n \cdot 1_{(n,n+1)} \right\|_{L^p}^q & \asymp \Bbb{E} \, \left\| \sum_{n=1}^N \varepsilon_n \cdot \mathcal{F}[ 1_{(n,n+1)} ] \right\|_{L^q}^q \\ & = \Bbb{E} \int \left| \sum_{n=1}^N \varepsilon_n e^{2\pi i \langle y_n, \xi\rangle} \right|^q \cdot |\widehat{f}(\xi)|^q \, d\xi \\ (\text{Fubini's theorem}) & = \int \Bbb{E} \left| \sum_{n=1}^N \varepsilon_n e^{2\pi i \langle y_n, \xi\rangle} \right|^q \cdot |\widehat{f}(\xi)|^q \, d\xi \\ (\text{Khintchine inequality}) & \asymp N^{q/2} \cdot \| \widehat{f} \|_{L^q}^q \\ & \asymp N^{q/2} \cdot \|f\|_{L^p}^q = N^{q/2}, \end{align*} donde las constantes son independientes de $N \in \Bbb{N}$. Esto sólo puede de $p = 2$.

Ahora, vamos a demostrar que también se $q = 2$. Para ver esto, observe arbitrarias $f \in L^p = L^2$ por el teorema de Plancherel que $$ \|\widehat{f} \|_{L^2} = \| f \|_{L^2} = \| f \|_{L^p} \asymp \|\widehat{f}\|_{L^q} . $$ Por lo tanto, obtenemos para arbitrario $L^2$ funciones $g \in L^2$ que $\|g\|_{L^2} \asymp \| g \|_{L^q}$, que fácilmente se implica $q = 2$, considerando por ejemplo, $g = \sum_{n=1}^N f_n$ $f_n$ anterior.

Answer 2

EDIT: parece que Hay un error en mis cálculos.

El hecho de que $\mathcal F$ hay isomorfismo entre el $L^p$ espacios para $p \neq 2$ puede ser comprobada mediante el mismo argumento que se utiliza para determinar la sobolev conjugado.

Supongamos que para $p,p'$ $\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1$ la transformada de Fourier es un isomorfismo entre el$L^p$$L^{p'}$. A continuación, para todos los $f \in \mathcal S$ donde $\mathcal S$ denota el espacio de Schwartz, tenemos $$ \|f\|_p = \|\mathcal{F}^{-1} \mathcal{F} (f)\|_{p} \leq \|\mathcal{F}^{-1}\|_{L^{p'} \L^p} \|\mathcal{F}(f)\|_{p'} = C \, \|\mathcal F (f)\|_{p'}. $$

Ahora, considere la posibilidad de $\lambda > 0$ la dilatación $\delta^\lambda f$ definido por $$ \delta^\lambda f(x):= f(\lambda x). $$ Entonces tenemos $$ \lambda^{-\frac{n}{p}} \|f\|_p = \|\delta^\lambda f\|_p \leq C \; \|\mathcal{F}(\delta^\lambda f)\|_{p'} = C \, \lambda^{-n} \|\delta^{\frac{1}{\lambda}} \, \mathcal{F}(f) \|_{p'} = C \, \|\mathcal{F}(f)\|_{p'}. $$ Dejando $\lambda \to 0$ muestra que no hay tal constante $C > 0$.

---

Aquí está el error que he hecho...

La segunda línea de las desigualdades debe leer $$ \lambda^{-\frac{n}{p}} \|f\|_p = \|\delta^\lambda f\|_p \leq C \; \|\mathcal{F}(\delta^\lambda f)\|_{p'} = C \, \lambda^{-n} \|\delta^{\frac{1}{\lambda}} \, \mathcal{F}(f) \|_{p'} = C \, \lambda^{-n + \frac{n}{p'}}\|\mathcal{F}(f)\|_{p'}, $$ que después de la reordenación de las $\lambda$-términos, simplemente se da la primera desigualdad. Sólo en el caso de la sobolev conjugado, esta prueba sólo muestra que si $\mathcal F$ es un isomorfismo, a continuación, $p,p'$ necesariamente tiene que ser conjugado.