Demostrar que $f^{(n)}(x) = 0$ para algunos $x$ .

Question

Supongamos que $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es $n$ -veces diferenciable y $f$ tiene $n+1$ ceros distintos. Demostrar que $f^{(n)}(x) = 0$ para algunos $x$ .

Mi intento: Demostrar por inducción

Para $n=1$ tenemos $f$ es diferenciable y tiene $2$ ceros distintos. Sean los dos ceros $a$ y $b$ . Por lo tanto, tenemos $f(a)=f(b)$ . Por el Teorema de Rolle, existe $x \in (a,b)$ tal que $f^{\prime}(x)=0$

Supongamos que $f^{(n-1)}(x) = 0$ es cierto. Entonces estoy atascado aquí. ¿Puede alguien guiarme?

Answer 1

Supongamos que cualquier función $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ Es decir $n-1$ diferenciable y tiene (al menos) $n$ ceros distintos satisface que $g^{(n-1)}(x)=0$ para algunos $x$ . Ahora nuestra función $f$ es $n$ veces diferenciable y tiene $n+1$ ceros distintos, tenemos que demostrar que $f^{(n)}(x)=0$ para algunos $x$ .

Considere $g(x)=f'(x)$ que es $n-1$ veces diferenciable. Si aceptamos que $g$ tiene $n$ ceros distintos entonces tendremos que $g^{(n-1)}(x)=0$ para algunos $x$ pero como $g^{(n-1)}(x)=f^{(n)}(x)$ habremos terminado.

Para demostrar que $g(x)=f'(x)$ tiene $n$ ceros distintos, es sencillo: Dado que $f$ es $n$ veces diferenciable, en particular es diferenciable, y como tiene $n+1$ ceros distintos, $x_0<x_1<\ldots<x_{n_1}<x_n$ entre dos ceros consecutivos cualesquiera, $x_i<x_{i+1}$ aplicar el Teorema de Rolle para concluir que $f'$ tendrá (al menos) un cero, es decir $g$ tendrá (al menos) $n$ ceros distintos.

Answer 2

Una pista: Entre dos raíces cualesquiera de una función diferenciable existe una raíz de la función derivada.

Answer 3

La hipótesis de inducción es que si f es (n-1) veces diferenciable y f tiene n ceros distintos entonces $f^(n-1)(x)=0 para alguna x.

Ahora mostramos para cuando f es n veces diferenciable y f tiene n+1 ceros distintos. Por el Teorema de Rolle aplicado n veces (entre los n+1 ceros distintos de f) tenemos que f' tiene n ceros y es n-1 veces diferenciable. Aplicando la hipótesis de inducción se completa la inducción.

Answer 4

Teorema de Rolle aplicado $n$ tiempos nos dan $n$ ceros de la nueva función $f'$ . Aplique el mismo argumento a $f'$ entonces $f''$ tiene $n-1$ ceros, y $f'''$ debe tener $n-2$ ceros aplicando Rolle a $f''$ etc. Este es el enfoque inductivo. ¿Puedes ver cómo es el proceso inductivo? ¿Cuál es la hipotesis de inducción?, y cuál es el paso inductivo?

"Supongamos que $f^{n−1}(x)=0$ es cierto" no es suficiente, supongamos que $f^{n−1}(x)=0$ para una cantidad de valores de $x$ ¿Cuál debe ser esta cantidad?

Answer 5

Dejemos que $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser un $n$ -función diferenciable con $n+1$ raíces, $x_0 < x_1 < \dots < x_{n}$ .

Aplicando el teorema de Rolle, existe un $c_i$ en el intervalo abierto $(x_i,x_{i+1})$ tal que $Df(c_i) = 0$ para $i=0,1,\dots,n-1$ .

Como los intervalos $(x_i,x_{i+1})$ son disjuntos, $Df$ es $(n-1)$ tiempos diferenciables con $n$ raíces distintas.

Así, por la hipótesis inductiva, existe una $x \in \mathbb{R}$ tal que $D_{n-1}Df(x) = D_nf(x)=0$ .