Función integrable de Lebesgue al integrarse en un conjunto es menor que $\epsilon$

Question

Que $f$ sea una no negativo mensurable función integrable en el espacio de medida $(X,M,\mu)$. Mostrar que cada $\epsilon >0 $ allí existe un $\delta >0 $ tal que para cada $E \in M$ $\mu(E) \le \delta$ tenemos $\int\limits_Efd\mu \le \epsilon$

Han intentado acercarse mediante aproximación de función simple. Sin embargo según diferentes $E$ tenemos diferentes funciones simples. Por lo tanto un uniforme obligado en ellos no es posible. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Para cada medibles $E$ y cada una de las $x\gt0$, $$ \int_Ef\mathrm d\mu=\int_{E\cap[f\lt x]}f\mathrm d\mu+\int_{E\cap[f\geqslant x]}f\mathrm d\mu\leqslant x\mu(E)+\int_{[f\geqslant x]}f\mathrm d\mu. $$ Elija $\varepsilon\gt0$. Desde $f$ es integrable y $f\cdot\mathbf 1_{[f\geqslant x]}\leqslant f$, Lebesgue teorema de convergencia dominada muestra que el extremo derecho de la integral en el lado derecho tiende a cero cuando $x\to\infty$. Por lo tanto, no existe $x_\varepsilon$ de manera tal que esta integral es $\leqslant\varepsilon/2$. Ahora, $\delta=\varepsilon/(2x_\varepsilon)$ garantiza que la LHS es $\leqslant\varepsilon$ por cada $E$ tal que $\mu(E)\leqslant\delta$.

Answer 2

Sugerencias:

• Si $f$ es acotado, la demanda es claramente cierto.
• Para arbitrario $f$, escribir $$\left| \int_E fd\mu\right|\le \left|\int_E fd\mu-\int_E (f\wedge n)d\mu\right|+\left|\int_E(f\wedge n)d\mu\right|$$ and notice that the first term can be made arbitrary small (since Levi's lemma assures that $\int (f\wedge n)\a\int f$). Gracias a la anterior sugerencia, el segundo término representa ningún problema también.
• Ahora bien, dado $\epsilon\gt0$, por Levi's lema usted puede encontrar $n$ s.t. primer término es menos de $\ldots$, el segundo término es, obviamente, menos de $\ldots$, por lo tanto basta con retirar $\delta=\ldots$ (dependiendo de la $n$, el cual es elegido anteriormente y fijo), para obtener que el lado izquierdo es menor que $\epsilon$.

Puede usted llenar las lagunas?