¿Cómo es posible la curvatura del campo eléctrico?

Question

Tomar el rizo del campo eléctrico debe ser posible, porque la ley de Faraday lo implica: $$\nabla \times \mathbf{E} = - \partial \mathbf{B} / \partial t$$ Pero acabo de buscado en Wikipedia , donde dice

El rizo del gradiente de cualquier campo escalar dos veces diferenciable $\phi$ es siempre el vector cero: $$\nabla \times (\nabla \phi)=\mathbf{0}$$

Viendo como $\mathbf{E} = - \nabla V$ , donde $V$ es el potencial eléctrico, esto sugeriría $\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$ .

¿Qué cosa presumiblemente obvia me estoy perdiendo?

Answer 1

El hecho es que, en el caso general $$ \vec{E} = -\vec{\nabla}V - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}; $$ (los signos dependen de las convenciones utilizadas) donde $\vec{A}$ se llama potencial vectorial . Puede consultar por ejemplo Wikipedia .

Consideremos las ecuaciones de Maxwell homogéneas:

$$ \begin{cases} \vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0,\\ \vec{\nabla}\times\vec{E} + \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} = 0; \end{cases} $$

Es bien sabido que todo campo divergente puede escribirse como un rizo de otro campo vectorial (suponemos que en $\mathbb{R}^3$ para simplificar) al igual que sabemos que un campo sin curvas puede escribirse como un gradiente de una función escalar (siempre en un dominio simplemente conectado). Así, a partir de la primera ecuación

$$ \vec{B} = \vec{\nabla}\times\vec{A}, $$

y sustituyendo esto en la segunda ecuación,

$$ \vec\nabla\times\left(\vec{E} + \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=0, $$

ya que se puede intercambiar el rizo con la derivada respecto al tiempo, y así se puede establecer

$$ \vec{E} + \frac{\partial\vec{A}}{\partial t} = -\vec\nabla V, $$

de la cual

$$ \vec{E} = -\vec{\nabla}V - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}. $$

Obsérvese que si el campo magnético es independiente del tiempo, se recupera la conocida fórmula

$$ \vec{E} = -\vec\nabla V. $$

Answer 2

Cuando hay un campo magnético variable en el tiempo, el campo eléctrico no es conservativo y por lo tanto no puede ser escrito en la forma $\mathbf{E}=-\nabla V$ .

Answer 3

Para los campos eléctricos y magnéticos dinámicos, hay una parte del campo eléctrico que depende del potencial vectorial: $$ \vec{E} = - \vec{\nabla} V - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}, \qquad \vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}. $$ Tomando el rizo de la primera ecuación se obtiene la Ley de Faraday (con el $V$ -que se pierde, como se puede observar); si se toma la divergencia de la segunda, se obtiene la ley del "no monopolo". $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$ .