Cómo mostrar integral dependiendo de un parámetro son continuamente diferenciables

Question

Estoy tratando de resolver este ejercicio

Deje $f:[0,1]\to \mathbb{R} \space$ una función integrable, mostrar:

$$g(z):=\int_{0}^1\frac{f(x)}{x-z}dx$$

es continua, diferenciable de la función en $\mathbb R \backslash[0,1]$.

Esto es lo que he hecho: hemos visto dos teoremas en clase. Uno me permite ver si una integral es diferenciable y calcular su derivada, mientras que el otro me permite ver si la integral es continua (Si lo necesitas, puedo publicarlos). Por lo tanto me he decidido a verificar en primer lugar si la integral se diferenciable y después que si la derivada de la integral fue continua. Para comprobar si la integral es diferenciable he comprobar 1) la función dentro de la integral es en $L^1$, 2) que ella es derivable con derivada $\frac {\delta f(x,z)}{\delta z}$ donde $f(x,z):=\frac{f(x)}{x-z}$. 3) tengo que comprobar si el derivado tiene una función dominante. Aquí están mis cálculo:

1) yo no estaba seguro acerca de este punto. He considerado el hecho de que $z \in (-\infty,\epsilon) \cup (1+\epsilon, +\infty)$ donde $\epsilon \gt0$ y $x \in [0,1]$ a señalar que el denominador debe estar acotada por una constante $C\gt0$ (¿es esto cierto? Puedo hacer yo?). Si me gusta esta me sale que el denominador nunca es 0 y esto implica que la función de $\frac{f(x)}{x-z}$ es integrable.

2)he calculado la derivada (ya que la derivada existe en el punto anterior, en cada punto z)

$$\frac {\delta f(x,z)}{\delta z}= \frac {\delta}{\delta z} \frac{f(x)}{x-z}=\frac {f(x)}{(x-z)^2}$$

3) haciendo el mismo razonamiento que en 1) he pensado que el denominador no puede desaparecer y, por tanto, existe una función dominante que se encuentra en $L^1$ La derivada de g(z) será

$$g(z)'= \int_{0}^1 \frac {f(x)}{(x-z)^2}dx$$

Ahora lo que he hecho es comprobar que esta función es continua en $\mathbb {R}\backslash [0,1]$ (tengo que comprobar 1') la función dentro de la integrale es medible, 2') ella es continua para x fijos y 3') existe una función dominante de la función dentro de la integrale)

1) la función de $\frac {f(x)}{(x-z)^2}$es medible desde $f(x)$ medibles y $(x-z)^2$ medibles (ya que nunca es 0 y nunca $\infty$, por lo tanto es un número, por lo tanto es continua)

2) la función es continua ya que la composición de funciones continuas (el mismo argumento que el anterior)

3) el mismo argumento como el anterior y con dominando la función h definida como:

$$h(x) =\begin{cases} f(x) & \text{if } (x-z)\le 1 \\ (\frac {1}{C}+\epsilon) & \text{if } (x-z)\lt 1 \end{casos}$$

donde $C = (x-z)$ $\epsilon \gt 0$

Hizo todo lo hago mal? Hay una manera sencilla de ver si una integral en función de un parámetro es continua / diferenciable / continuamente diferenciable?

Answer 1

Veo que sabes algo de teoría de la medida, porque usted habla de "medibles" de las funciones. Asumiendo que esto es mucho más fácil. Por ejemplo, argumentan que $$ g(z)=\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{(x-z)^{2}}dx $$ es continua en a $\mathbb{R}\setminus[0,1]$. Aquí es donde el teorema de convergencia dominada viene muy bien. Supongamos primero que $a$$z$$(0,\infty)$. Entonces el teorema de Fubini permite el intercambio de órdenes de integración para obtener: $$ \begin{align} \int_{a}^{z}g(z')dz' & =\int_{a}^{z}\left(\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{(x-z')^{2}}dx\right)\,dz'\\ & =\int_{0}^{1}f(x)\left(\int_{a}^{z}\frac{1}{(x-z')^{2}}\,dz'\right)\,dx \\ & =\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{x-z}dx-\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{x-a}\,dx. \end{align} $$ El lado izquierdo es un continuo differentible función de $z\in(0,\infty)$ porque $g$ argumentó que ser continuo. De modo que el lado derecho debe ser continuamente diferenciable en a $z$ (y usted no tiene que comprobar). Por otra parte, la derivada de la izquierda con respecto a $z$ $g$ porque $g$ es continua. Por lo tanto, $$ g(z) = \frac{d}{dz}\int_{0}^{1}\frac{f(x)}{x-z}\,dx, $$ que es lo que quería mostrar.