Se me pide que demuestre que $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1-x^2}$
He utilizado la identidad trigonométrica para demostrar que $\cos^2(x) = 1 - x^2$
Por lo tanto, ¿por qué no se indica la respuesta con el signo más o menos?
como en $\pm \sqrt{1-x^2}$ .
Gracias.
El triángulo se utiliza para demostrar que $\arcsin{x}$ puede verse como $y=\arcsin\displaystyle\frac{x}{1}$ que implica $\sin{y}=\displaystyle\frac{x}{1}$ . Sólo se toma el valor positivo porque los lados del triángulo son longitudes que son escalares y por tanto no negativas. (Esto quiere decir que los lados no apuntan en ninguna dirección. Si la definición del círculo unitario $sin^2{y}+cos^2{y}=1$ entonces podríamos tomar soluciones negativas en función de la orientación del triángulo en el plano cartesiano).
Dejemos que $\arcsin x = \theta$ . Entonces, por definición de la función arcoseno, $\sin\theta = x$ , donde $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ y $\cos(\arcsin x) = \cos\theta$ . Uso de la identidad pitagórica $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ obtenemos \begin {align*} \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta & = 1 \\ \cos ^2 \theta & = 1 - \sin ^2 \theta\\ \cos ^2 \theta & = 1 - x^2 \\ | \cos\theta | & = \sqrt {1 - x^2} \end {align*} Desde $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ , $\cos\theta \geq 0$ . Así, $|\cos\theta| = \cos\theta$ De ahí que \begin {align*} \cos\theta & = \sqrt {1 - x^2} \\ \cos ( \arcsin x) & = \sqrt {1 - x^2} \end {align*}
Nota: esta respuesta no explica la fórmula $\sqrt{1-x^2}$ pero sí aborda por qué no necesitas $\pm$ .
Dejemos que $x$ sea cualquier número entre $-1$ y $1$ . Entonces $\arcsin(x)$ es un ángulo $\theta$ con $\sin(\theta)=x$ . Pero que ángulo $\theta$ ? Hay muchos ángulos diferentes que tienen el mismo seno. Por definición , $\arcsin(x)$ es un ángulo entre $-90$ ° y $90$ ° (o, si lo prefiere, entre $-\pi/2$ y $\pi/2$ radianes).
Muy bien, ahora queremos $\cos(\arcsin(x))$ o $\cos(\theta)$ . Esto significa que estamos tomando el coseno de un ángulo entre $-90$ ° y $90$ °. El coseno de dicho ángulo nunca es negativo (sólo obtenemos un coseno negativo de un ángulo obtuso). Así que $\cos(\arcsin(x))$ es siempre no negativo .
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