Puede alguien explicar el concepto de "intercambiabilidad'?

Question

Veo que el concepto de "intercambiabilidad" ser utilizado en diferentes contextos (por ejemplo, bayesiano de modelos), pero nunca he entendido el término muy bien.

1. ¿Qué significa este concepto significa?

2. ¿Bajo qué circunstancias es este concepto invocado y por qué?

Answer 1

La intercambiabilidad pretende capturar la simetría en un problema, la simetría en el sentido de que no requiere de la independencia. Formalmente, una secuencia es intercambiable si su distribución de probabilidad conjunta es una función simétrica de su $n$ argumentos. Intuitivamente esto significa que puede cambiar todo, o reordenar las variables en la secuencia, sin cambiar su distribución conjunta. Por ejemplo, cada IID (independientes, idénticamente distribuidas) de la secuencia es intercambiable, pero no la otra manera alrededor. Cada intercambiables secuencia es idénticamente distribuidas, sin embargo.

Imagínese una mesa con un montón de urnas en la parte superior, cada uno contienen diferentes proporciones de rojo y bolas verdes. Elegimos una urna al azar (de acuerdo a algunos antes de la distribución) y, a continuación, tomar una muestra (sin reemplazo) seleccionados de la urna.

Tenga en cuenta que los rojos y los verdes que observamos NO son independientes. Y es que tal vez no sea una sorpresa al enterarse de que la secuencia de colores rojos y verdes que nosotros observamos es canjeable secuencia. Lo que es tal vez sorprendente es que CADA intercambiables secuencia puede ser imaginado de esta manera, para una adecuada elección de urnas y antes de la distribución. (ver Diaconis/Freedman (1980) "Finito Intercambiables Secuencias", Ann. Prob.).

El concepto se invoca en todo tipo de lugares, y es especialmente útil en Bayesiano contextos, ya que en esos ajustes tenemos una distribución previa (nuestro conocimiento de la distribución de urnas en la mesa) y tenemos una probabilidad corriendo alrededor de un modelo que más o menos representa el procedimiento de muestreo a partir de un dado, fijo, urn). Podemos observar la secuencia de los colores rojos y verdes (los datos) y utilizar esa información para actualizar nuestras creencias acerca de la urna en nuestra mano (es decir, nuestra posterior), o, más en general, las urnas sobre la mesa.

Intercambiable variables aleatorias son especialmente maravilloso, porque si tenemos infinitamente muchos de ellos, a continuación, tenemos los libros de matemática de la maquinaria al alcance de nuestras manos no es el menos importante de los cuales es de Finetti del Teorema; ver Wikipedia para una introducción.