$(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)=8abc\; (a,b,c\in \mathbb{Q}^{+})$ tiene infinitamente muchas soluciones

Question

Demostrar que: $$(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)=8abc,\quad a,b,c\in \mathbb{Q}^{+}$ $
tiene un número infinito de soluciones $(a,b,c)$.

Ahora encontramos este infinito %#% $ #%

Mi pregunta: Tiene otra forma de solución?

Answer 1

Hay no trivial de soluciones racionales, por ejemplo, $$(a,b,c)=(5/6,\ 2/11,\ 3/13).$ $ Nota que la ecuación puede ser escrita como $$[1]\ \ \frac{1-a^2}{2a}\cdot \frac{1-b^2}{2b} \cdot \frac{1-c^2}{2c}=1.$$ La siguiente es sólo una idea de cómo encontrar un número infinito de pares de $(a,b)$ que $(a,b,5/6)$ es una solución. Definir $$f(x)=\frac{1-x^2}{2x},$$ and note that $f(p/q)=(q^2-p^2)/(2pq).$ Also note that if $f(p/q)=m/n$ then also $f((q-p)/(q+p))=n/m,$ por lo que podemos invertir una de las fracciones en el trabajo con la ecuación.

Si podemos encontrar una infinidad racional de los pares de $(x,y)$ para los que $$[2]\ \ \frac{1-x^2}{2x}\cdot \frac{2y}{1-y^2}=\frac{6}{5},$$ this will produce infinitely many rational solutions to [1], by the above remark about inverting fractions taken on by $f$ via the map $p/p \a (q-p)/(q+p).$

Ahora [2] es una curva cúbica $$kx-y+x^2y-ky^2=0,$$ where $k=6/5.$ It has a rational point on it taken from the solution $(5/6,2/11,3/13)$ [1].

Creo que esto significa que hay un número infinito de puntos racionales en [2]. A partir de la única racional punto de $P$, el uso de la tangente de la línea le dará otra, decir $Q$; a continuación, el uso de la línea tangente allí dará un tercer punto de $R$, y después de que uno de ellos tiene dos puntos racionales $Q,R$ para que la curva no es tangente a la línea de $QR$, por lo que la línea a través de esas te da otro punto, etc. Yo no soy un experto suficiente sobre cúbicos curvas de ser capaz de decir definitivamente esto le dará un número infinito de puntos racionales. Tal vez alguien que sepa cúbicos curvas pueden hacer de este argumento ir a través de.

Answer 2

La ecuación,

$$(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)-8abc=0$$

es sólo una cuadrática en cualquiera de las variables. Por lo tanto,

$$c=\frac{8ab\pm y}{2(-1+a^2+b^2-a^2b^2)}$$

donde,

$$64a^2b^2-4(-1+a^2+b^2-a^2b^2)(1-a^2-b^2+a^2b^2) = y^2$$

Este cuártica polinomio a una plaza es fácilmente reducible a una curva elíptica. Desde el punto racional inicial {$a,b$} = {$5/6,\; 2/11$}, se pueden encontrar un infinito más.