He estado estudiando Rossmann la Mentira de los Grupos. En el contexto de este libro, un grupo lineal $G$ es un grupo de invertible, reales o complejos, matrices y su álgebra de la Mentira $\mathfrak{g}$ se compone de aquellas matrices $X$ para que la exponencial $e^{tX}$ pertenece a $G$ por cada $t\in\mathbb{R}$. Como tengo entendido, las matrices $X$ que son candidatos a ser un elemento de $\mathfrak{g}$ son tomadas a priori para ser real si $G$ se compone de bienes de las matrices. Sin embargo, podemos considerar tales $G$ como un grupo de matrices complejas como bien; en cualquier caso, uno debe obtener el mismo $\mathfrak{g}$. Esto es lo que quiero demostrar.
Es claramente suficiente para demostrar que esta para $G=\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$. Por lo tanto, quiero mostrar que cualquier matriz compleja $X$ que $e^{tX}$ es real para cada $t\in\mathbb{R}$ es real. Esto es fácil de ver si $X$ es diagonal, pero ¿qué pasa general $X$? Cualquier referencia o croquis de la prueba es bienvenido.
