Límite en n dimensiones con producto punto

Question

Sean tres vectores $\mathbf a$ , $\mathbf b$ y $\mathbf h$ en $\mathbb R^n$ . Definir el número real $$p(\mathbf h) \doteq (\mathbf a \cdot \mathbf h) (\mathbf b \cdot \mathbf h)$$ ¿Existe el siguiente límite? En particular, ¿es igual a $0$ ? $$\lim_{\mathbf h \to \mathbf 0} \frac {p(\mathbf h)} {|\mathbf h|} $$ Estaba pensando en expresar $p$ como un producto de sumas, como $$p(\mathbf h)=\left(\sum_{j=1}^n a_jh_j\right)\left(\sum_{k=1}^n b_kh_k\right) = \sum_{i=1}^na_ib_ih_i^2 + \sum_{j\neq k} a_jb_kh_jh_k $$ ¿Hay alguna propiedad del producto punto que pueda estar olvidando en este momento?

Answer 1

Observe que

$$p(h):=(a\cdot h)(b\cdot h)=\left\|a\right\|\left\|b\right\|\left\|h\right\|^2\cos\theta\cos\eta$$

con $\;\theta=\;$ el ángulo entre $\;a,h\;$ y $\;\eta=$ el ángulo entre $\;b,h\;$ y por lo tanto

$$\frac{p(h)}{\left\|h\right\|}=\left\|a\right\|\left\|b\right\|\left\|h\right\|\cos\theta\cos\eta\xrightarrow[h\to0]{}0$$

Answer 2

Utilizando Desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos $$ 0 \le \frac{|p(h)|}{|h|}\le \frac{|a||b||h|^2}{|h|} = |a||b||h| $$ que va a cero siempre que $h$ tiende a cero.

Answer 3

Obsérvese que utilizando la desigualdad de Cauchy Schwarz se obtiene:

$$0 \leq \bigg | \frac {p(h)} h \bigg | \leq \frac 1 {|h|} |a||b||h|^2 = |a||b||h| \to 0$$ como $h \to 0$ . Por lo tanto, por la Thm de Apretón su límite es igual a 0.