Elección de código utilizando cifras y Letras

Question

Quiero armar un código secreto. El código consta de 2 dígitos diferentes y 3 diferentes letras en inglés (26 de opciones). ¿Cuántos códigos diferentes se pueden poner juntos?

Traté de pensar en ello de esta manera: $$10*9*26*25*24=1,404,000$$

Porque yo primero elija dos dígitos y, a continuación, tres cartas. La respuesta del libro es:

$$\binom{10}{2}\binom{26}{3}*5!=14,040,000 $$

Entiendo por qué lo hicieron, pero yo no sé lo que me falta para obtener respuesta similar a la suya.

Muchas gracias.

Answer 1

Antes de que usted puede armar el código, debe elegir que espacios van a ser números y qué espacios van a ser letras. Hay en conjunto el $5$ espacios (ya que están haciendo un código de símbolos de $5$) y hay $2$ espacios para los números. Por lo tanto, hay $5 \choose 2$ maneras de elegir que espacios donde los números van y qué espacios va a ser donde van las letras. Por lo tanto, su respuesta debe ser:

$${5 \choose 2}*10*9*26*25*24=14,040,000$$

Answer 2

¡Algebraico, \binom{10}{2}\binom{26}{3}5 $$! ¡= \frac{10!} {2! 8!} \frac{26!} {23! 3!} = \frac{10\times 9 \times 26 \times 25 \times 24 \times 5}! {2! 3!} = 10\times 9 \times 26 \times 25 \times 24 \times 10. $$ Te diferencia es que aunque usted considera todas las opciones posibles de letras y dígitos, olvidó considerar todas las formas posibles de organizar los objetos elegidos, que es $5!$.

Answer 3

Sugerencia. Ha contado los códigos en los que los dígitos vienen primeros, seguido de los números.

Answer 4

Obviamente algo de pescado con la primera ranura, como no puede ser 0. Vamos a dividir la solución en 2:

1) Primera ranura es una carta. Tenemos 26 de opciones para la primera ranura y, a continuación, elija dos más para las letras: $\binom{4}{2} \times 25 \times 24$, luego se multiplica por $10 \times 9$.

2) Primera ranura es un dígito: contamos con 9 opciones para, a continuación, elegimos 4 ranuras para el segundo dígito: $9 \times \binom{4}{1} \times 9$ y el resto son chars. La solución completa es

$$ 26 \times \binom{4}{2} \times 25 \times 24 \10 \times 9 +9 \times \binom{4}{1} \times 9 \times 26 \times 25 \times 24 $$