Deje $K=\{0,1\}^{\mathbb{N}^*}$ y dotar a $K$ con el producto de la topología en la que cada una de las $\{0,1\}$ tiene la topología discreta. Se puede demostrar (incluso sin AC/el Teorema de Tychonoff) que $K$ es compacto. Para $i\in\mathbb{N}^*$ denotamos por a $p_i:K\to\{0,1\}$ canónica de la proyección en el $i$-ésimo componente. Recordamos que la topología en $K$ es el menos topología que hace cada una de las $p_i$ continuo.
Deje $(a_i)_{i\geq1}$ ser una secuencia de reales (o complejos) de números tales que la serie $\sum_i a_i$ es absolutamente convergente. Definir la asignación
$$\begin{array}[t]{ccccc}\mathbf{a}&:&K&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&&(c_i)_{i\geq1}&\longmapsto&\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty}a_i c_i.\end{array}$$
Ya hemos asumido que el de la serie de $\sum_i a_i$ es absolutamente convergente, no es difícil comprobar que la asignación de $\mathbf{a}$ está bien definido (por ejemplo, mediante la prueba de comparación).
Vamos a demostrar que $\mathbf{a}$ es continuo: vamos a $(c_i)_{i\geq1}\in K$ y deje $\varepsilon>0$. Desde que la serie se $\sum_i a_i$ es absolutamente convergente, existe $N\in\mathbb{N}^*$ tal que $\sum_{i=N+1}^{+\infty}\lvert a_i\rvert<\varepsilon$. Considerar el subconjunto abierto
$$O_N=\bigcap_{i=1}^N p_i^{-1}\bigl(\{c_i\}\bigr)$$
de $K$. Por definición de la topología producto, $O_N$ es un subconjunto abierto de $K$ ($O_N$ es un finito intersección inversa de imágenes de abrir establece por la continua asignaciones $p_i$). Deje $(d_i)_{i\geq1}\in O_N$. Por definición, esto significa que $(d_i)_{i\geq1}$ es una secuencia con valores en $\{0,1\}$ y
$$\forall i\in\{1,\ldots,N\},\ d_i=c_i.$$
Entonces
$$\Bigl\lvert\mathbf{a}\bigl((d_i)_{i\geq1}\bigr)-\mathbf{a}\bigl((c_i)_{i\geq1}\bigr)\Bigr\rvert=\left\lvert\sum_{i=N+1}^{+\infty}(d_i-c_i)a_i\right\rvert\leq\sum_{i=N+1}^{+\infty}\lvert a_i\rvert<\varepsilon.$$
Por lo tanto $\mathbf{a}$ es continua.
Es un estándar de hecho de que la imagen de un espacio compacto por una asignación continua es compacto: tenemos por lo tanto, a la conclusión de que $\mathbf{a}(K)$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}$.
