Su obra hasta el momento está bien. Sin embargo, en estas condiciones, si bien es necesaria, no tiene que ser suficiente. Por ejemplo, las condiciones dadas permitir $k=0$, pero si $k=0$, entonces la ecuación se reduce a
$\log_a(3x+3) = \log_a(2x+1)$, por lo tanto $3x+3=2x+1$, por lo tanto $x=-2$, pero si $x=-2$ $\log_a(x+1)$ no tener sentido.
En su lugar, vamos a centrarnos en $kx+3\gt 0$ $x\gt -\frac{1}{2}$ (tenga en cuenta que el último ya implica $x\gt -1$, con lo que conseguimos que una "gratis").
Al hacerlo, llegamos a la conclusión de que debemos tener
$$kx^2 +(k+1)x + 2 = 0,$$
por lo tanto
$$x = \frac{-(k+1)+\sqrt{k^2-6k+1}}{2k}\quad\text{or}\quad \frac{-(k+1)-\sqrt{k^2-6k+1}}{2k}.$$
Esto conduce a su condición necesaria, $k\leq 3-2\sqrt{2}$ o $k\geq 3+2\sqrt{2}$. Ahora, ¿qué necesitamos para $x$ mayor que $-\frac{1}{2}$?
Si $k\gt 0$,$(k+1)^2 \gt k^2-6k+1$, lo $-(k+1)+\sqrt{k^2-6k+1}\lt 0$; ambos valores de $x$ será negativa; en orden para el valor más pequeño es mayor que $-\frac{1}{2}$ necesitaríamos
$$\begin{align*}
\frac{-(k+1)-\sqrt{k^2-6k+1}}{2k}&\gt-\frac{1}{2},\\
-(k+1)-\sqrt{k^2-6k+1}&\gt -k &\text{(as }k\gt 0\text{)}\\
-1&\gt \sqrt{k^2-6k+1}
\end{align*}$$
lo cual es imposible. Proceder de la misma manera con el otro valor de $x$ podemos
$$\begin{align*}
-1 & \gt -\sqrt{k^2-6k+1}\\
1 &\lt \sqrt{k^2-6k+1}\\
1 &\lt k^2-6k+1\\
0 &\lt k(k-6)
\end{align*}$$
lo que significa que debemos tener $k\lt 0$ o $k\gt 6$; y ya que estamos asumiendo $k\gt 0$, podemos concluir que se requieren $k\gt 6$. Así que si $k\gt 0$, entonces la única vez que hemos $x\gt-\frac{1}{2}$ es cuando
$$k\gt 6\quad\text{and}\quad x = \frac{-(k+1)+\sqrt{k^2-6k+1}}{2k}.$$
Además, tenga en cuenta que si $k\gt 6$, entonces la raíz cuadrada es definido.
Todavía tenemos que comprobar la condición final, $kx+3\gt 0$. Tenemos
$$\begin{align*}
kx + 3 = \frac{-(k+1)+\sqrt{k^2-6k+1}}{2}+3 &\gt 0\\
-(k+1)+\sqrt{k^2-6k+1} + 6&\gt 0\\
-k + \sqrt{k^2-6k+1}+5&\gt 0\\
\sqrt{k^2-6k+1}&\gt k-5\\
k^2-6k+1 &\gt k^2-10k+25 &\text{(since }k-5\gt 0\text{)}\\
4k &\gt 24\\
k&\gt 6
\end{align*}$$
que es lo que ya estamos asumiendo. Por lo $kx+3\gt 0$ se mantenga como bien proporcionado $k\gt 6$.
Así, por positivos $k$, las condiciones para una solución de existir se reducen a $k\gt 6$, en cuyo caso la única solución para $x$ es
$$x = \frac{-(k+1)+\sqrt{k^2-6k+1}}{2k}.$$
Ahora, ¿qué acerca de la $k\lt 0$ (nota todos los valores $k^2-6k+1$ positivo)?
Si $k\lt 0$,$(k+1)^2 \lt k^2-6k+1$, lo $|k+1|\lt \sqrt{k^2-6k+1}$, por lo tanto $-\sqrt{k^2-6k+1}\lt k+1 \lt \sqrt{k^2-6k+1}$. Por lo tanto,
$$-(k+1)-\sqrt{k^2-6k+1} \lt 0 \lt -(k+1)+\sqrt{k^2-6k+1}.$$
Por lo tanto, dividiendo por el número negativo $2k$, obtenemos que
$$\frac{-(k+1)-\sqrt{k^2-6k+1}}{2k}\gt 0 \gt \frac{-(k+1)+\sqrt{k^2-6k+1}}{2k}.$$
Así un valor de $x$ es positivo y el otro es negativo siempre.
El valor negativo de siempre satisfará $kx+3\gt 0$, mientras que el valor positivo siempre satisfará $x\gt -\frac{1}{2}$.
Vamos a ver cuando el valor negativo es mayor que $-\frac{1}{2}$:
$$\begin{align*}
\frac{-(k+1)+\sqrt{k^2-6k+1}}{2k} &\gt -\frac{1}{2}\\
-(k+1)+\sqrt{k^2-6k+1} &\lt -k\\
\sqrt{k^2-6k+1} &\lt 1\\
k^2-6k &\lt 0\\
k(k-6) &\lt 0
\end{align*}$$
que requiere de $0\lt k\lt 6$; pero esto es imposible cuando se $k\lt 0$. Por lo que el valor negativo es nunca mayor que $-\frac{1}{2}$, por lo que el valor negativo de $x$ nunca los rendimientos de una solución válida.
Ahora vamos a comprobar si el valor positivo que satisface $kx+3\gt 0$:
$$\begin{align*}
k\left(\frac{-(k+1)-\sqrt{k^2-6k+1}}{2k}\right) + 3 &\gt 0\\
-(k+1)-\sqrt{k^2-6k+1} + 6 &\gt 0\\
-\sqrt{k^2-6k+1}&\gt k-5\\
k^2-6k+1 &\lt k^2 - 10k + 25\\
4k &\lt 24\\
k &\lt 6
\end{align*}$$
la cual siempre mantiene desde $k\lt 0$. Así que la solución positiva siempre satisface las condiciones requeridas.
En resumen, cuando se $k\lt 0$, siempre tiene una solución, y será
$$x = \frac{-(k+1)-\sqrt{k^2-6k+1}}{2k}.$$
Así que me parece que los valores de $k$ para las que existe al menos una solución real $x$ $k\lt 0$ o $k\gt 6$.
