Considerar la restricción $f$ de los map$F:\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R,(x,y,z)\mapsto z$$S^2$:
de hecho, es una función suave y según el método de Lagrange multiplier, usted sabe que $f$ sólo tiene dos puntos críticos (no hay otra opción, tiene que ser el max y min de $f$) situado en $p_\epsilon=(0,0,\epsilon)$, $\epsilon=\pm 1$.
Para encontrar la naturaleza de estos dos puntos, usted necesita encontrar un cuadro alrededor de $p_\epsilon$ y calcular el estado de Hesse de $f$.
Alrededor de $p_\epsilon$, el mapa de $\varphi : (x,y)\in B(0,r) \mapsto (x,y,\epsilon\sqrt{1-x^2-y^2})$ es agradable gráfico y $f\circ \varphi (x,y)=\epsilon\sqrt{1-x^2-y^2}$ en un barrio de $p$. El estudio del mapa de $g=f\circ \varphi$ $(0,0)$ le dará la naturaleza de la $p_\epsilon$.
Se puede comprobar que $$\dfrac{\partial^2 g}{\partial x^2}(0,0)=\dfrac{\partial^2 g}{\partial y^2}(0,0)=-\epsilon$$ and $$\dfrac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0,0)=0.$$
Esto significa que el estado de Hesse de $f$ $p_\epsilon$ es negativo o definitiva positiva definida de acuerdo a $\epsilon =1$ o $\epsilon =-1$. En otras palabras $f$ se parece a $(x,y)\mapsto f(p_\epsilon)-\epsilon(x^2+y^2)$ $p_\epsilon$ donde $(x,y)$ son coordenadas locales y el número de negativos de la plaza es el Morse índice (según el lema de Morse).
Así que para $\epsilon =1$, $p_\epsilon=(0,0,1)$ es un máximo y su índice es igual a $2$.
Para $\epsilon = -1$, $p_\epsilon=(0,0,-1)$ es un mínimo y su índice es igual a $0$.
Por último, si me indican por $C_i$ $\mathbb Z/2\mathbb Z$- espacio vectorial generado por los puntos críticos de $f$ de índice de $i$, el Morse teoría nos dice que tenemos una secuencia exacta $$\{0\}\rightarrow C_2 \rightarrow C_1 \rightarrow C_0 \rightarrow \{0\}.$$
En este caso, $C_0\simeq \mathbb Z/2\mathbb Z \simeq C_2$$C_1=\{0\}$, por lo que el Morse cohomology de este complejo es $$HM_i=\left\{\begin{array}{ll} \mathbb{Z} / 2 \mathbb Z & \text{if } i=0,i=2 \\ \{0\} & \text{otherwise}\end{array}\right.$$
y $\chi(S^2)=1-0+1=2$.
Para mostrar que un compacto colector $V$ de dim $d$ tiene un montón de funciones de Morse, uno puede usar el mapa de $f_p(x)=\|x-p\|^2$ (la plaza que da a la regularidad). Pensemos $V$ como submanifold de $\mathbb R^n$.
- Comprobar que un punto de $c\in V$ es un punto crítico de $f_p$ fib $c-p\perp T_cV$.
- Si $v=v(x_1,\cdots,x_d)\in V$ es un local gráfico alrededor de $c$, luego $$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}=2(<\dfrac{\partial v}{\partial x_i},\dfrac{\partial v}{\partial x_j}>+<v-p,\dfrac{\partial^2 v}{\partial x_i\partial x_j}>).$$ You want to show that for almost every $p$, this matrix is definite i.e. of rank $d$.
- Considere la posibilidad de la normal bundle $N=\{(v,w)\in V\times \mathbb R^n | w\perp T_xV\}\subset V\times \mathbb R^n$ y $F:N\rightarrow \mathbb R^n, (v,w)\mapsto v+w$. $N$ es una variedad de dimensión $n$ $F$ es suave.
- Compruebe que $p=v+w\in \mathbb R^n$ es un valor regular de $F$ fib $\forall v,w$ s.t. $p=v+w$ la matriz $M=(m_{ij})$ $$m_{ij}=<\dfrac{\partial v}{\partial x_i},\dfrac{\partial v}{\partial x_j}>+<w,\dfrac{\partial^2 v}{\partial x_i\partial x_j}>$ $ es invertible.
Con este cuatro puntos comprobado, aplicar los Adrs lema y obtener la prueba.
La transversalidad ayuda a construir en forma genérica el morse complejo. A grandes rasgos, para definir el complejo, que necesita una buena función de morse, un buen pseudo-vector gradiente de campo, etc... que caben todos juntos. No es obvio que uno siempre puede hacer eso, pero la transversalidad condiciones le permite decir : si no funciona en algún punto, entonces usted puede perturbar un poco todo este tipo de herramientas para que.
