Adjoint pares, trillizos y cuatrillizos

Question

A menudo hemos adjunto pares (a,B) (es decir, que queda adjunto a la B). A veces tenemos adjunto trillizos (a,B,C) (es decir, que queda adjunto a B y B es adjunto a la izquierda para C. No adjoint relación entre a y C, obviamente, ya que tienen el mismo origen y el de destino).

Así que la primera pregunta es: ¿podemos tener cuatrillizos (a,B,C,D) ? (lo que significa que C es también la izquierda medico adjunto D).

Segunda pregunta: Sería posible, entonces, que tenemos (a,D), además de (a,B). Pero yo creo que no, porque creo que no es posible tener un functor Una con dos diferentes derecha adjoints, B y D. Es esto correcto

Answer 1

En realidad, para cada número natural $\ge 2$, hay una máxima de cadena de adjoint functors de esa longitud. Aquí está uno de la construcción: vamos a $\mathbf{n}$ denotar el poset categoría $\{ 0 < \ldots < n - 1 \}$. Yo afirman que hay functors (es decir, el fin de la preservación de los mapas) $$\begin{align} d_i & : \mathbf{n} \to \mathbf{n} + 1 & & 0 \le i \le n \newline s_i & : \mathbf{n} + 1 \to \mathbf{n} & & 0 \le i \le n - 1 \end{align}$$ tal que $$d_n \dashv s_{n-1} \dashv d_{n-1} \dashv \cdots \dashv s_0 \dashv d_0$$ es una máxima de la cadena de medico adjunto functors. Por otra parte, si $\mathbf{C}$ es una categoría con un terminal de objeto, pero no de objeto inicial, hay functors $$\begin{align} \partial_i & : [\mathbf{n} + 1, \mathbf{C}] \to [\mathbf{n}, \mathbf{C}] & & 0 \le i \le n \newline \sigma_i & : [\mathbf{n}, \mathbf{C}] \to [\mathbf{n} + 1, \mathbf{C}] & & 0 \le i \le n \end{align}$$ tal que $$\partial_0 \dashv \sigma_0 \dashv \cdots \dashv \partial_n \dashv \sigma_n$$ es una máxima de la cadena de medico adjunto functors. (Aquí se $[\mathbf{D}, \mathbf{C}]$ indica la categoría de todos los functors $\mathbf{D} \to \mathbf{C}$.)

Tampoco es difícil encontrar una infinita cadena de adjoint functors: por ejemplo, $$\cdots \dashv \textrm{id} \dashv \textrm{id} \dashv \textrm{id} \dashv \cdots$$ es una cadena, aunque un poco degenerado.

En cuanto a tu segunda pregunta, recordemos que adjoints son únicos hasta natural único isomorfismo, es decir, si $F \dashv G$$F \dashv G'$, entonces existe un entorno natural único isomorfismo $G \cong G'$ que interactúa muy bien con la unidad y counit de la contigüidad.