Un número entero que es el área de un triángulo rectángulo con lados enteros se llama pitagórico. Demostrar que para todo entero positivo n > 12 existe un número pitagórico entre n y 2n.
Respuesta
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Aquí explotamos la tripleta pitagórica $3k,4k,5k$ .
Obsérvese que debido a este triple pitagórico $6k^2$ es pitagórico para cada $k$ .
El caso en el que $n \ge 54$ :
Elija $m\ge 3$ para que
$$6m^2 \le n < 6(m+1)^2 < 12m^2$$
Esto nos da el resultado de $n \ge 54$ .
Varios más pequeños $n$ :
Utilizando de nuevo nuestro $3k,4k,5k$ triángulos que podemos conseguir:
Para $13 \le n \le 23$ el número $24$ obras (tomando $k = 2$ ).
Y para $30 \le n \le 53$ el número $54$ obras (tomando $k = 3$ ).
El único problema viene entonces por los números $24 \le n \le 29$ y esta es la única vez que nos desviamos de nuestro $3k,4k,5k$ y utilizar el triángulo $5,12,13$ .
Para $24 \le n \le 29$ el número $30$ funciona.
Combinando todo esto tenemos el resultado.
