Olimpiada de Matemáticas de Corea 1993

Question

Un número entero que es el área de un triángulo rectángulo con lados enteros se llama pitagórico. Demostrar que para todo entero positivo n > 12 existe un número pitagórico entre n y 2n.

Answer 1

Aquí explotamos la tripleta pitagórica $3k,4k,5k$ .

Obsérvese que debido a este triple pitagórico $6k^2$ es pitagórico para cada $k$ .

El caso en el que $n \ge 54$ :

Elija $m\ge 3$ para que

$$6m^2 \le n < 6(m+1)^2 < 12m^2$$

Esto nos da el resultado de $n \ge 54$ .

Varios más pequeños $n$ :

Utilizando de nuevo nuestro $3k,4k,5k$ triángulos que podemos conseguir:

Para $13 \le n \le 23$ el número $24$ obras (tomando $k = 2$ ).

Y para $30 \le n \le 53$ el número $54$ obras (tomando $k = 3$ ).

El único problema viene entonces por los números $24 \le n \le 29$ y esta es la única vez que nos desviamos de nuestro $3k,4k,5k$ y utilizar el triángulo $5,12,13$ .

Para $24 \le n \le 29$ el número $30$ funciona.

Combinando todo esto tenemos el resultado.