Operador $T \colon L^p \to L^p$ es una expectativa condicional

Question

Estoy tratando de resolver este problema:

Dejemos que $(X,\mathcal{B},\mu)$ un espacio de probabilidad y $T \colon L^p(\mu) \to L^p(\mu)$ un operador lineal continuo ( $1 \leq p < \infty$ ) con las siguientes propiedades:

1) $||T||=1$ .

2) $T(1) = 1$ .

3) $\forall g \in L^\infty(\mu), f \in L^p(\mu) \colon \, T(gT(f))=T(f)T(g)$ .

Entonces existe un sub $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{B}$ tal que $$ \forall f \in L^p(\mu) \colon \, T(f) = \mathbb{E}(f | \mathcal{G})$$

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Mi intento:

Podemos definir $$\mathcal{C}= \{g \in L^\infty \colon T(g) = g\}, \ \mathcal{G} = \sigma(\mathcal{C})$$ Por el teorema de la clase monótona no es muy difícil ver que si $g \in L^\infty$ es $\mathcal{G}$ -medible entonces $T(g) = g$ . Entonces quiero demostrar que para cada $f \in L^\infty$ $T(f) = \mathbb{E}(f|\mathcal{G})$ .

• $T(f) \in \mathcal{C}$ por la propiedad 2) entonces $T(f)$ es $\sigma(\mathcal{C})=\mathcal{G}$ -Medible.
• Dejemos que $g \in L^\infty$ y $\mathcal{G}$ - medible. Entonces $$\int_X T(f)g d\mu = \int_X T(fg) d\mu =\cdots $$

No sé cómo proceder a partir de aquí.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

El $p=1$ caso:

Dejemos que $\cal G$ ser como usted lo ha definido.

Por el teorema para $L^p$ dualidad, se tiene un isomorfismo isométrico $\psi: L^{\infty}(\mathcal B, \mu) \to L^1(\mathcal B, \mu)^*$ dado por $\psi(g)(f):=\int_X fg d\mu$ . Sea $T^*: L^1(\mathcal B, \mu)^* \to L^1(\cal B, \mu)^*$ denotan el adjunto canónico de $T$ . Definir $S:= \psi^{-1} \circ T^* \circ \psi: L^{\infty}(\mathcal B, \mu) \to L^{\infty}(\mathcal B, \mu)$ . Tenga en cuenta que $\|S\| \leq 1$ desde $S$ es una composición de mapas con norma de operador $1$ . El cálculo directo arroja que para cualquier $f \in L^1(\mathcal B, \mu)$ y $g\in L^{\infty}(\mathcal B, \mu)$ , $$\int_X (Tf)g d\mu = \int_X f (Sg) d\mu$$ A continuación, observe que para cualquier $f \in L^1(\mathcal B, \mu)$ y cualquier $g \in L^{\infty}(\mathcal G, \mu)$ $$T(f)g=T(f)T(g)=T(fT(g))=T(fg)$$ y por lo tanto $$\int_X T(f)g d\mu = \int_X T(fg)d\mu = \int_X fg \;S(1) d\mu$$ Definir $h:=S(1)$ . Dejar $\;f=g=1$ da que $\int_X h\;d\mu=1$ . Por otra parte, dado que $\|S\| \leq 1$ vemos que eso $\| h\|_{\infty} = \|S1 \|_{\infty} \leq \|1\|_{\infty}= 1$ . Desde $\|h\|_{\infty} \leq 1$ y $\int_X h\; d\mu=1$ debe ser cierto que $h=1$ casi seguro. Esto significa que para cualquier $f \in L^1(\mathcal B, \mu)$ y cualquier $g \in L^{\infty}(\mathcal G, \mu)$ $$\int_X (Tf)g d\mu = \int_X fg d\mu$$ lo que significa precisamente que $Tf=E[f|\mathcal G]$ , una vez que demostramos que $Tf$ es $\cal G$ -Medible para todos $f \in L^1(\cal B, \mu)$ . Para mostrar esta última parte, basta con observar que si $f\in L^{\infty}(\cal B, \mu)$ entonces debe ser cierto que $Tf\in \cal C$ y, por tanto, por la densidad de $L^{\infty}(\cal B, \mu)$ en $L^1(\cal B, \mu)$ se deduce que cualquier $Tf$ es un $L^1$ -límite de funciones en $\cal C$ Por lo tanto, es $\cal G$ -medible. Esto completa la prueba.

El $p>1$ caso:

Si $p>1$ entonces todos los cálculos de dualidad anteriores siguen siendo válidos con $L^1(\cal B, \mu)$ sustituido por $L^p(\cal B, \mu)$ y $L^{\infty}(\cal B, \mu)$ sustituido por $L^q(\cal B, \mu)$ donde $q = \frac{p}{p-1}$ . Sin embargo, esta vez, obtenemos el límite que $\|h \|_q\leq 1$ en lugar del límite $\|h\|_{\infty}\leq 1$ . Esto hace que la historia sea un poco más complicada que la $p=1$ caso, pero ahora demostraremos que sigue siendo cierto que $h=1$ a.s.

Desde $\int_X h \; d\mu =1$ se deduce que $\| h \|_1 \geq 1$ . Por lo tanto, la monotonicidad de $L^p$ normas nos da que $1 \leq \|h \|_1 \leq \|h\|_{(q+1)/2} \leq \|h\|_q \leq 1$ y por lo tanto $\|h\|_1 = \|h\|_{(q+1)/2}=\|h\|_q = 1$ . Por lo tanto, obtenemos que $$\int_X |h|\big( |h|^{(q-1)/2}-1\big)^2 d\mu = \|h\|_q^q -2 \|h\|_{(q+1)/2}^{(q+1)/2}+ \|h\|_1 = 1-2+1=0$$ Esto implica a su vez que $|h|\big( |h|^{(q-1)/2}-1\big)^2=0$ a.s, y por lo tanto $|h|$ toma valores en $\{0,1\}$ casi con toda seguridad. De ello se desprende que $h=1_E-1_F$ para algunos casos disjuntos $E,F \in \cal B$ . Entonces obtenemos que $\mu(E)-\mu(F)=\int_X h\; d\mu=1$ y por lo tanto $\mu(E)=1$ y $\mu(F)=0$ . Por lo tanto, $h=1$ a.s., que muestra que $Tf=E[f|\mathcal G]$ y así se completa la prueba.

[Agradecimientos a @S. Caterall por considerar la función $|h| \big( |h|^{(q-1)/2}-1\big)^2 .\;\;$ ]

Answer 2

Un posible enfoque puede basarse en la Proposición I-2-13 del libro de Neveu sobre martingalas de parámetros discretos (disponible aquí o aquí ). La Observación que sigue a la prueba de esta proposición explica que, si $T$ es un operador lineal continuo en $L^p$ que satisface la condición (3) anterior, entonces $T$ es de la forma $T(f) = \mathbb{E}(uf | \mathcal{G})$ donde la función $u$ satisface $u\in L^\infty(\mathcal{B},\mu)$ si $p=1$ o $\mathbb{E}(|u|^q | \mathcal{G}) \in L^\infty(\mathcal{G},\mu)$ en el caso $p>1$ (donde $q = \frac{p}{p-1}$ ). En el caso $p=1$ las condiciones (1) y (2) anteriores implican que $\|u\|_\infty=1$ y $\int_X u d\mu=1$ (respectivamente), de modo que $u=1$ casi seguro. En el caso $p>1$ las condiciones (1) y (2) anteriores implican que $\|\mathbb{E}(|u|^q | \mathcal{G})\|_\infty=1$ y $\int_X u d\mu=1$ de lo que podemos concluir que $u\in L^q (\mathcal{B},\mu)$ con $\|u\|_q \leq 1$ . Cuando $p=q=2$ , teniendo en cuenta $\int_X (u-1)^2 d\mu$ muestra que $u=1$ casi seguro. Para $p<2$ , utiliza la monotonicidad de $L^p$ normas para concluir de nuevo que $u=1$ casi seguro. Para $p>2$ , $q\in(1,2)$ y tenemos $\|u\|_1\geq 1$ pero $\|u\|_q \leq 1$ Así que $\|u\|_1=\|u\|_q =1$ por monotonicidad de la norma. Dado que $\int_X u d\mu=1$ Esto implica que $u$ es positivo. Consideremos ahora $\int_X u(u^\frac{q-1}{2} -1)^2 d\mu$ concluyendo que $u$ es de la forma $1_E$ . Entonces el hecho de que $\int_X u d\mu=1$ implica que $\mu(E)=1$ Así que $u=1$ casi seguro.

Alternativamente: La propuesta I-2-14 del libro establece que, si $p\geq 1$ pero $p \neq 2$ entonces toda contracción lineal idempotente $T$ en $L^p$ tal que $T(1)=1$ es necesariamente una expectativa condicional. Las condiciones (1)-(3) anteriores garantizan que se cumplen los supuestos de esta Proposición, por lo que $T$ por tanto, puede escribirse como una expectativa condicional. Sin embargo, sólo se ofrece una prueba parcial de la Proposición, para el caso $p=1$ . Se puede obtener una demostración completa utilizando el Teorema 1 del artículo de Ando sobre "Contractive Projections in $L_p$ Espacios" (ref 5 en el libro), que establece que si $T$ es un idempotente contractivo en $L^p$ ( $p>1, p\neq 2$ ) con $T(1)=1$ entonces $T$ es contractiva en el $L^1$ norma. Este resultado permite reducir la $p>1$ caso a la $p=1$ caso.

Answer 3

Esto pretende ser un comentario largo y no una respuesta real (mi respuesta real es la otra respuesta). En concreto, he encontrado algunas afirmaciones en el PO que no son evidentes y por eso quería dar una prueba detallada para ellos.

La primera cita:

Podemos definir $$\mathcal{C}= \{g \in L^\infty \colon T(g) = g\}, \ \mathcal{G} = \sigma(\mathcal{C})$$ Por el teorema de la clase monótona no es muy difícil ver que si $g \in L^{\infty}$ es $\mathcal{G}$ -medible entonces $T(g) = g$ .

Demostraremos (de forma más general) que $Tg=g$ para todos $g \in L^p(\cal G, \mu)$ , donde $\cal G$ es como se ha definido anteriormente. Basta con demostrarlo en el caso especial de que $g=1_E$ para algunos $E \in \cal G$ porque entonces podemos aproximarnos por medio de funciones simples y usar eso $T$ es continua.

Dejemos que $\mathcal E:= \{E \in \mathcal G : T(1_E) = 1_E\}$ . Es fácil ver que $\cal E$ es un sistema Dynkin. Pero $\cal E$ también es cerrado bajo intersecciones de pares, por la condición (3). Por lo tanto, $\cal E$ es un $\sigma$ -Álgebra. Por lo tanto, para demostrar que $\cal E = G$ Sólo tenemos que demostrar que $\cal E$ contiene un conjunto generador para $\cal G$ es decir, todos los conjuntos de la forma $f^{-1}(B)$ con $f \in \cal C$ y $B \subset \Bbb R$ Borel.

Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar que $T(1_{f^{-1}(B)}) = 1_{f^{-1}(B)}$ para todos $f \in \cal C $ y todos los Borel $B \subset \Bbb R$ . Demostraremos algo más fuerte, a saber, que si $f \in \cal C$ entonces para cualquier función acotada medible de Borel $h: \Bbb R \to \Bbb R$ es cierto que $T(h \circ f) = h \circ f$ .

Así que dejemos $f \in \cal C$ , dejemos que $h$ sea como se indica, y que $\epsilon>0$ . Desde $f \in L^{\infty}(\cal B, \mu)$ existe algún intervalo compacto $J$ tal que $\mu(f \notin J)=0$ . Como las funciones continuas son densas en $L^p(J, \;f_*\mu)$ se deduce que existe una función continua $h_1$ en $J$ tal que $\| h-h_1 \|_{L^p(f_*\mu)}<\epsilon/4$ . Del mismo modo, existe un polinomio $P$ en $J$ tal que $\| h_1-P \|_{L^p(f_*\mu)}<\epsilon/4$ . De ello se desprende que $\| h \circ f - P \circ f \|_{L^p(\mu)} = \|h-P \|_{L^p(f_*\mu)} < \epsilon/2$ . Desde $T$ tiene norma de operador $1$ se deduce que $\| T(h \circ f) - T(P \circ f) \|_{L^p(\mu)} < \epsilon/2$ . Pero como $P$ se supone que es un polinomio, se deduce que $T(P \circ f) = P \circ f$ simplemente aplicando repetidamente (3) y utilizando el hecho de que $f \in \cal C$ . Por lo tanto, vemos que $$\| T(h \circ f) - h \circ f \|_{L^p(\mu)} \leq \| T(h \circ f) - T(P \circ f) \|_{L^p(\mu)} + \| P \circ f - h \circ f \|_{L^p(\mu)} < \epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$$ Dejar $\epsilon \downarrow 0$ , obtenemos que $T(h \circ f) = h \circ f$ .

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Otra cita no trivial es la siguiente:

Quiero demostrar que para cada $f \in L^\infty$ , $T(f) = \mathbb{E}(f|\mathcal{G})$ .

• $T(f) \in \mathcal{C}$ por la propiedad (2).

A priori, no es necesariamente cierto que si $f \in L^{\infty}(\cal B, \mu)$ entonces $Tf \in L^{\infty}(\cal B, \mu)$ . Lo demostraremos.

Dejemos que $f \in L^{\infty}(\cal B, \mu)$ . Definir una secuencia como $f_1:=f$ y $f_{n+1}=f\cdot Tf_n$ . Está claro que $f_n \in L^p(\cal B, \mu)$ para todos $n$ . Además, obtenemos la relación que $\|f_{n+1}\|_p = \|f \cdot Tf_n \|_p \leq \|f\|_{\infty} \cdot \|Tf_n\|_p \leq \|f\|_{\infty} \cdot \|f_n\|_p$ . Así, por inducción, vemos que $\| f_n \|_p \leq \|f\|_{\infty}^{n-1} \cdot \|f_1\|_p \leq \|f\|_{\infty}^n$ .

Pero también es cierto que $Tf_{n+1}=T(f\cdot Tf_n) = Tf \cdot Tf_n$ y así por inducción vemos que $Tf_n = (Tf)^n$ para todos $n$ . Por lo tanto, vemos que para todo $n \in \Bbb N$ : $$\|Tf\|_{np}^n = \|(Tf)^n\|_p = \|Tf_n\|_p \leq \|f_n\|_p \leq \|f\|_{\infty}^n$$ Tomando $n^{th}$ raíces, vemos que $\|Tf\|_{np}\leq \|f\|_{\infty}$ para todos $n$ . Dejar $n \to \infty$ , obtenemos que $\|Tf\|_{\infty} \leq \|f\|_{\infty} < \infty$ para que $Tf \in L^{\infty}(\cal B, \mu)$ .