Mucho de esto se hace mucho más fácil de ver si usted sabe acerca de la teorema espectral . Mis respuestas a continuación se basan en gran medida en esto.
Para su primera declaración, cualquier matriz no normal proporciona un contraejemplo. De hecho, tenemos el siguiente teorema:
Deje que $A$ ser una matriz cuadrada con valores propios $ \lambda_k $ . Deje que $ \sigma_1 , \dots , \sigma_n $ denotan los valores propios de $A^TA$ (que son todos positivos). Luego $$ \sum_ {k=1}^n | \lambda_k |^2 \leq \sum_ {k=1}^n \sigma_k $$ y $A$ es normal si y sólo si $ \sigma_k = | \lambda_k |^2 $ para cada uno $k$ .
La prueba de su segunda afirmación (por el teorema espectral) es la siguiente:
Porque $A$ es normal, existe una matriz unitaria $U$ y la matriz diagonal $D$ (cada uno con entradas complejas) de tal manera que $A = UDU^*$ donde $M^* = \overline {M^T}$ denota la conjugación-transposición, también conocida como la unión de una matriz compleja. Nótese que $$ D = \pmatrix { \lambda_1\\ & \ddots \\ && \lambda_n } $$ donde $ \lambda_k $ son los valores propios de $A$ . Entonces tenemos $$ A^TA = A^*A = (UDU^*)^*UDU^* = UD^*DU^* = U \pmatrix {| \lambda_1 |^2 \\ & \ddots \\ && | \lambda_n |^2}U^* $$ Así, los valores propios de $A^TA$ son $| \lambda_k |^2$ .