Los valores propios de $A^TA$

Question

Supongamos que $A$ ser un $n \times n$ matriz en $M( \mathbb {R})$ . Me gustaría saber los valores propios de $A^TA$ . Creo que es falso asumir $\lambda ^2$ ser eigenvalor de $A^TA$ dado que $\lambda$ eigenvalor de $A$ . ¿Alguien puede encontrar un contra-ejemplo de ello?

También supongo que la siguiente afirmación es cierta en cuanto a los valores propios de $A^TA$ :

Si $A$ es normal, entonces $\lambda ^2$ es el valor propio de $A^TA$ dado que $\lambda$ eigenvalor de $A$ .

¿Puede alguien probar la afirmación anterior?

Answer 1

Mucho de esto se hace mucho más fácil de ver si usted sabe acerca de la teorema espectral . Mis respuestas a continuación se basan en gran medida en esto.

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Para su primera declaración, cualquier matriz no normal proporciona un contraejemplo. De hecho, tenemos el siguiente teorema:

Deje que $A$ ser una matriz cuadrada con valores propios $\lambda_k$ . Deje que $\sigma_1 , \dots , \sigma_n$ denotan los valores propios de $A^TA$ (que son todos positivos). Luego $$\sum_ {k=1}^n | \lambda_k |^2 \leq \sum_ {k=1}^n \sigma_k$$ y $A$ es normal si y sólo si $\sigma_k = | \lambda_k |^2$ para cada uno $k$ .

La prueba de su segunda afirmación (por el teorema espectral) es la siguiente:

Porque $A$ es normal, existe una matriz unitaria $U$ y la matriz diagonal $D$ (cada uno con entradas complejas) de tal manera que $A = UDU^*$ donde $M^* = \overline {M^T}$ denota la conjugación-transposición, también conocida como la unión de una matriz compleja. Nótese que $$D = \pmatrix { \lambda_1\\ & \ddots \\ && \lambda_n }$$ donde $\lambda_k$ son los valores propios de $A$ . Entonces tenemos $$A^TA = A^*A = (UDU^*)^*UDU^* = UD^*DU^* = U \pmatrix {| \lambda_1 |^2 \\ & \ddots \\ && | \lambda_n |^2}U^*$$ Así, los valores propios de $A^TA$ son $| \lambda_k |^2$ .

Answer 2

Contra-ejemplo:

$$\begin {align*} \operatorname {eig} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} &= \{0,1\} \\ \operatorname {eig} \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {pmatrix} &= \{0,2\} \\ \end {align*}$$

Answer 3

La matriz normal es la matriz que satisface $AA^T = A^T A$ . Eso es lo que dice wiki en las matrices normales

Entre las matrices complejas, todas las matrices unitarias, hermitianas y hermitianas sesgadas son normales.

Las matrices Skew-Hermitanas son prometedoras para el contra-ejemplo, ya que sus valores propios son puramente imaginarios. La verdadera matriz simétrica es sólo una matriz simétrica.

Deje que $A$ ser la matriz simétrica de la inclinación. Considere el eigenvector $x$ de $A$ . Él tiene $$A^TA x = -A^2 x = - \lambda ^2 x$$