¿Por qué funciona el método para averiguar las raíces logarítmicas y cúbicas?

Question

Para hallar las raíces cúbicas de cualquier número con una simple calculadora, nuestro profesor nos dio el siguiente método, que es preciso al menos con una décima.

1)Tome el número $X$ cuya raíz cúbica hay que averiguar, y tomar su raíz cuadrada 13 veces (o 10 veces), es decir $\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{....X}}}}$

2)a continuación, restar $1$ dividir por $3$ (para la raíz cúbica, y cualquier número $n$ para $n$ raíz), añada $1$ .

3) A continuación, eleva al cuadrado el número resultante (digamos $c$ ) 13 veces (o 10 veces si hubieras sacado la raíz 10 veces) es decir $c^{2^{2^{....2}}}=c^{2^{13}}$ . Esto da la respuesta.

No estoy seguro de si tomar la raíz cuadrada y los cuadrados se limita a 10/13 veces, pero lo que sé es que este método da respuestas precisas al menos a una décima.

Para encontrar el registro, el método es similar:-

1)Tomar 13 veces la raíz cuadrada del número, restar 1 y multiplicar por $3558$ . Esta es la respuesta.

¿Por qué funcionan estos métodos? ¿Cuál es el principio subyacente de estos métodos?

Answer 1

Utilicemos estos fórmulas clásicas :

$$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n$$ $$\ln\,x=\lim_{n\to\infty}n\left(x^{1/n}-1\right)$$

para obtener (sustituyendo el límite por un valor suficientemente grande de $n$ : $N=2^{13}$ ) : \begin{align} \sqrt[3]{x}=e^{\left(\ln x/3\right)}&\approx \left(1+\frac {\ln x/3}N\right)^N\\ &\approx \left(1+\frac {N\left(x^{1/N}-1\right)}{3\,N}\right)^N\\ &\approx \left(1+\frac {\left(x^{1/N}-1\right)}3\right)^N\\ \end{align}

Con respecto al logaritmo decimal tenemos : $$\log_{10}\,x=\frac{\ln\,x}{\ln\,10}\approx \frac N{\ln\,10}\left(x^{1/N}-1\right)$$

Para $N=2^{13}$ podemos (como indica peterwhy) aproximar la fracción con $$ \frac N{\ln\,10}=\frac {2^{13}}{\ln\,10}\approx 0.4343\times 8192\approx 3558$$

Espero que esto aclare las cosas,