Serie De Fourier $\sin(\sin(x))$

Question

Puede alguien encontrar la Serie de Fourier de $ \sin(\sin(x))$?

He tratado de evaluar las integrales para determinar los coeficientes de cada uno de los coeficientes de las ondas sinusoidales, pero no tienen idea de por dónde empezar cómputo de los integrales.

Answer 1

Primera nota de que $f(x)$ es anti-simétrica por lo que la serie sólo ha $\sin$'s, y que sólo impares $n$'s va a aparecer desde $f(x-\pi)=-f(x)$.

Las integrales de dar combinaciones de Bessel J funciones, en $x=1$. El coeficiente de $\sin nx$ es: \begin{align} b_n& = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin(\sin(x))\sin(nx) \, dx \\ & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx-\sin(x)) - \cos(nx)\cos(\sin(x))\, dx \\ & =2 J_n(1) \end{align} Desde: $$J_n(1) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(nx - \sin x)\, dx\ ,$$ y la segunda integral se convierte en $0$ por extraño $n$, como es anti-simétrica alrededor de $\pm \pi/2$.

Así tenemos: $$\large\color{blue}{\sin(\sin(x)) = 2\sum_{k=0}^\infty J_{2k+1}(1)\sin \left((2k+1)x\right)}$$

P. S: Esto le da un interesante identidad para la suma de todos los impares $J_k(1)$: $$\sin(1)=2\sum_{k=0}^\infty (-1)^kJ_{2k+1}(1)$$