Demostrar una relación de piso funciones

Question

Estoy tratando de probar que una determinada expresión es un límite inferior para una muy inusual comportamiento de la función. El conjunto de la prueba será completa si puedo concretar los detalles de una técnica lema que involucran la función del suelo. Estoy completamente seguro de que el lema es cierto, pero han tenido un diablo de un tiempo de probarlo.

El Lema es el siguiente:

Deje $n$ $b$ ser números naturales, con $1 \leq b \leq n$. Supongamos que existe un entero $k$ tal que $$\frac{n + \sqrt{n^2 + b + 2}}{b+2} < k < \frac{n+\sqrt{n^2+b+1}}{b+1}$$ Entonces existe un entero tumbado estrictamente entre $$ \left( \left\lfloor \frac{n+\sqrt{n^2+b+2}}{b+2} \right\rfloor +1 \right)\sqrt{n^2+b+1}$$ y $$ \left( \left\lfloor \frac{n+\sqrt{n^2+b+2}}{b+2} \right\rfloor +1 \right)\sqrt{n^2+b+2}$$ (donde $\lfloor x \rfloor$ denota la función del suelo).

La hipótesis puede ser fácilmente declarar en el formulario:

Supongamos $ \left\lfloor \frac{n+\sqrt{n^2+b+2}}{b+2} \right\rfloor < \left\lfloor \frac{n+\sqrt{n^2+b+1}}{b+1} \right\rfloor$

y es claro que las dos desigualdades están estrechamente relacionadas, pero no he sido capaz de obtener de uno a otro, y agradecería cualquier ayuda. Si hay interés, me puede dar más antecedentes del problema.

Editado para añadir: De hecho, ahora estoy casi seguro que el Lema anterior es, en realidad si-y-sólo-si, y también estaría encantado de ayudar con la prueba de lo contrario.

Answer 1

Fix$n,b$$1\le b\le n$.

Deje $k\in\mathbb Z$. Para $i\in\{1,2\}$ definir $$\tag1\delta_i:=k- \frac{n+\sqrt{n^2+b+i}}{b+i}.$$ A continuación, $k$ es estrictamente entre los límites iff $\delta_1<0<\delta_2$. A continuación, para $i\in\{1,2\}$ $$\begin{align}k\sqrt{n^2+b+i}&=\left( \frac{n+\sqrt{n^2+b+i}}{b+i}+\delta_i\right)\sqrt{n^2+b+i}\\ &=\frac{n^2+b+i+n\sqrt{n^2+b+i}}{b+i}+\delta_i\sqrt{n^2+b+i}\\ &=1+n\cdot \frac{n+\sqrt{n^2+b+i}}{b+i}+\delta_i\sqrt{n^2+b+i}\\ &\tag2=1+nk+\delta_i(\sqrt{n^2+b+i}-n).\end{align}$$ Tenga en cuenta que $$n<\sqrt{n^2+b+i}\le\sqrt{n^2+n+2}\le\sqrt{n^2+2n+1}=n+1 $$ de modo que $$\tag30<\sqrt{n^2+b+i}-n\le 1$$ con la igualdad en el derecho si y sólo si $n=b=1$$i=2$. En otras palabras, tenemos $$\tag{4}0<\sqrt{n^2+b+i}-n< 1\rlap{\qquad\text{if $n>1$}.}$$

Lema. Deje $k\in\mathbb Z$. A continuación, $k$ es estrictamente entre $\frac{n+\sqrt{n^2+b+2}}{b+2}$ $\frac{n+\sqrt{n^2+b+1}}{b+1}$ si y sólo si $1+nk$ es estrictamente entre $k\sqrt{n^2+b+1}$$k\sqrt{n^2+b+2}$.

Prueba. Porque de $(3)$$(2)$, la conclusión tiene si y sólo si $\delta_1<0<\delta_2$. Pero que es equivalente a la premisa. $_\square$

La proposición. Deje $k=\left\lfloor\frac{n+\sqrt{n^2+b+2}}{b+2}+1\right\rfloor$. Existe un entero estrictamente entre el $\frac{n+\sqrt{n^2+b+2}}{b+2}$ $\frac{n+\sqrt{n^2+b+1}}{b+1}$ si y sólo si existe un entero estrictamente entre el$k\sqrt{n^2+b+1}$$k\sqrt{n^2+b+2}$.

Prueba. Suponga que existe un entero estrictamente entre el$\frac{n+\sqrt{n^2+b+2}}{b+2}$$\frac{n+\sqrt{n^2+b+1}}{b+1}$. A continuación, $k$ es sin duda un entero porque es el entero más pequeño estrictamente mayor que $\frac{n+\sqrt{n^2+b+2}}{b+2}$. Entonces, por el lema, $1+nk$ es estrictamente entre $k\sqrt{n^2+b+1}$$k\sqrt{n^2+b+2}$.

Por el contrario suponer que $m$ es un número entero estrictamente entre el$k\sqrt{n^2+b+1}$$k\sqrt{n^2+b+2}$. Para $n=b=1$ esto significa que el $2\sqrt 3<m<4 $, lo cual es imposible. Por lo tanto,$n>1$. Definir $\delta_{1,2}$$(1)$. Entonces, por definición de $k$,$0<\delta_2\le 1$. Luego de $(2)$ $(4)$ $$m<k\sqrt{n^2+b+2}=1+nk+\underbrace{\delta_2(\sqrt{n^2+b+2}-n)}_{\in(0,1)}$$ de modo que $m\le 1+nk$. El uso de $(2)$ nuevo tenemos $$ 1+nk\ge m>k\sqrt{n^2+b+1}=1+nk+\delta_1(\sqrt{n^2+b+1}- n)$$ de modo que $\delta_1(\sqrt{n^2+b+1}- n)<0$ y $(3)$ en última instancia,$\delta_1<0$. Pero $\delta_1<0<\delta_2$ es equivalente a $k$ estrictamente entre $\frac{n+\sqrt{n^2+b+2}}{b+2}$ y $\frac{n+\sqrt{n^2+b+1}}{b+1}$.$_\square$