Ejemplos de categorías en las que los morfismos no son funciones

Question

Alguien puede dar ejemplos de las categorías donde están los objetos de algún tipo de estructura basada en conjuntos y morfismos no son funciones?

Answer 1

Considere la posibilidad de la categoría con exactamente dos objetos de $a$ $b$ (que puede ser cualquier cosa que quieras!) y que tiene exactamente una no-identidad de morfismos -va de $a$ $b$- que es mi silla.

Answer 2

Deje $G$ ser un grafo dirigido. Entonces podemos pensar que de $G$ como una categoría cuyos objetos son los vértices en $G$. Dado vértices $a, b \in G$ de los morfismos de $a$ $b$son el conjunto de caminos en el grafo $G$ $a$ $b$con la composición que se está concatenación de caminos. Tenga en cuenta que nos permiten "trivial" los caminos que se inician en un determinado vértice $a$, atraviesan sin bordes, y termina en el vértice de partida $a$. Tenemos que hacer esto para la categoría a tienen identidades.

También podemos crear categorías cuyos morfismos no son exactamente los mapas, pero en lugar de clases de equivalencia de los mapas. Por ejemplo, dado adecuadamente un bonito anillo $R$ podemos crear el estable módulo de la categoría cuyos objetos son $R$-módulos. Dadas dos $R$-módulos de $A$ $B$ el conjunto de morfismos de $A$ $B$es el grupo abelian de $R$-módulo homomorphisms de $A$ $B$modulo el subgrupo de homomorphisms que el factor a través de un proyectiva $R$-módulo.

Answer 3

Suponiendo adecuado acceso a los "grandes juegos", que cada categoría es isomorfo a un (posiblemente grande) categoría de (posiblemente grande) y conjuntos (posiblemente grande) funciones.

Podemos reemplazar cada objeto $A$ el (posiblemente grande) conjunto de todas las flechas con codominio $A$. Llamar a este conjunto de $|A|$.

Entonces, podemos reemplazar cada flecha $f : A \to B$ el (posiblemente grande) la función $|A| \to |B|$ definido por $g \mapsto f \circ g$.

En muchas categorías, podemos restringir los conjuntos de $|A|$ a incluir sólo las flechas que vienen de una en particular (pequeño), un conjunto de dominios. Cuando podemos hacer esto, podemos evitar hacer uso de grandes conjuntos y funciones.

Answer 4

Creo que el Fukaya categoría de un simpléctica colector es un ejemplo. Los objetos son el Lagrangiano submanifolds, mientras que los morfismos son los puntos de intersección de la Lagrangians.

Answer 5

También deducción natural puede ser considerado como una categoría con fórmulas como los objetos y de las pruebas como morfismos.