Conjetura: Si $ N $ $ N + 10 $ es de los primeros, a continuación, $ N + 20 $ es compuesto.

Question

Conjetura: Si $ N $ $ N + 10 $ es de los primeros, a continuación, $ N + 20 $ es compuesto.

Aquí están algunos ejemplos:

• $ 19 $ $ 29 $ son principales; $ 39 $ es compuesto.
• $ 241 $ $ 251 $ son principales; $ 261 $ es compuesto.
• $ 733 $ $ 743 $ son principales; $ 753 $ es compuesto.
• $ 1627 $ $ 1637 $ son principales; $ 1647 $ es compuesto.

He encontrado esta lista de números primos útil.

Answer 1

Si $N>3$ es primo entonces, $N \equiv 1,2 \pmod{3}$. Por lo tanto $N+10 \equiv N+1 \equiv 2,0 \pmod{3}$.Pero $N+10$ también es primordial, por tanto,$N+10 \equiv 2 \pmod{3}$. Esto significa $N \equiv 1 \pmod{3}$. En consecuencia,$N+20 \equiv 0 \pmod{3}$. Por lo tanto siempre compuesto.

Answer 2

Sugerencia $\ 3\,$ se divide una de $\,n,\, n\!+\!10,\, n\!+\!20,\,$ desde que se $\,\equiv\, n,\, n\!+\!1,\,n\!+\!2\pmod 3$

Por lo tanto si $\,n>3\,$ $\,n\!+\!10\,$ son ambos primos, a continuación, $\,3\nmid n\,$ $\,3\nmid n\!+\!10,\ $ $\ 3\mid n\!+\!20.$

Comentario $\ $ Usted puede encontrar instructivo para generalizar la anterior prueba para demostrar que si el primer $\,p < n\,$, entonces al menos uno de los $\,p\,$ enteros $\ n < n\!+\!a < n\!+\!2a <\ldots < n\!+\!(p\!-\!1)a\ $ es compuesto.

De manera más general, es cierto para cualquier sistema completo de representantes de las $> 0$ para los enteros mod $\,p\,$, que omite $\,p,\,$ desde entonces, el representante de $\,p\equiv 0\,$ algunos $\,np > p,\,$, que está compuesto.

Answer 3

Esto no es una conjetura, es un hecho que los antiguos Griegos sabían, sólo que le falta una excepción, $N = 3$ (que Jeppe señaló hace poco, pero los antiguos Griegos también lo sabían).

Usted tiene que mirar en la criba de Eratóstenes en el habitual 10-columna de ancho filas. Círculo 2 y la huelga de los mayores números. Hay un evidente patrón, ¿verdad? Mantener a raya a 3, sin embargo, círculo 5 lugar y la cruz de la mayor impares múltiplos de 5 (usted no tiene que tachar los múltiplos de 5 a menos que usted realmente quiere por alguna razón u otra). El patrón es obvio, ¿verdad? Ahora el círculo 3 y la cruz de su impares múltiplos de que aún no ha sido tachada porque de 5.

Lo que estoy diciendo es que el patrón que se repite cada 3 filas. No ha cruzado de 19 porque no es un múltiplo de 2, 3 o 5; y no se ha cruzado de 29 porque no es un múltiplo de 2, 3 o 5. Pero usted tiene tachada 39 porque es un múltiplo de 3. Del mismo modo, usted no ha cruzado de 49 o 59, pero que se han cruzado en off 69. Por supuesto, usted sabe 49 no es primo, pero ayuda a hacer mi punto.

El lenguaje de congruencias (por ejemplo, $19 \equiv 1 \mod 3$) le ayudará a usted como usted aventurarse más allá de donde los patrones no son tan gráficamente evidente en el tamiz.