Hacer de la igualdad de las bases implica la igualdad de poderes?

Question

$$x^a = x^b \Rightarrow a =b$$

Así que, este es un concepto que se utiliza en múltiples problemas de matemáticas, y a menudo, se convierten a la derecha. La cosa es que, a día de hoy mi profesor de matemáticas me dijo que esto no es necesariamente cierto.
_{(Él no lo hizo, sin embargo, me da una explicación adecuada de por qué lo que es, y nadie esperaba que él porque me parecía muy trivial y parecía como algo que todo el mundo debería tener ya conocido).}

Me preguntaba si alguien podría explicar por qué él dijo que. Supongo que tiene algo que ver con los niveles superiores de matemáticas que no entiendo.

Mi lógica es que desde $\log_{x} a = \log_{x} b$, $a = b$.
Pero eso es cierto sólo si $f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$.
Yo sólo suponga así porque yo lo hice en muchos trigonometría preguntas. Pero yo no creo que es suficiente prueba para corroborar mi afirmación. Por favor, ayudar.

Answer 1

Funciona, siempre que $x>0$ $x\neq 1$ (estos son los valores permitidos para un logaritmo de base $x$). De lo contrario, aquí hay algunos contraejemplos:

• $(-1)^3 = -1 = (-1)^5 \qquad\text{ yet }\qquad 3 \neq 5$
• $0^3 = 0 = 0^5 \qquad\text{ yet }\qquad 3 \neq 5$
• $1^3 = 1 = 1^5 \qquad\text{ yet }\qquad 3 \neq 5$

Tenga en cuenta que si $x<0$$x \neq -1$, podemos conseguir realmente deshacerse de el signo negativo para que funcione. Por ejemplo, si $(-2)^a = (-2)^b$, tomando el valor absoluto de ambos lados de los rendimientos de $2^a = 2^b$, por lo que se puede tomar el registro (base $2$) de ambos lados para obtener $a=b$.

Answer 2

Si usted toma los registros en la ecuación original, entonces usted obtener:

$x^a = x^b \\ \Rightarrow a\log x = b\log x \\ \Rightarrow (a-b)\log x = 0$

A partir de esta última ecuación, vemos que cualquiera de las $a-b=0$, lo $a=b$ o más $\log x = 0$, lo $x=1$.

Otras excepciones pueden ocurrir por los valores de $x$ que no están en el dominio de la función logaritmo. El trato con los valores negativos de $x$ se puede hacer mediante la cancelación de cualquier negativos antes de tomar registros.

Si usted está permitiendo que para los números complejos, la respuesta es algo más complicado. Por ejemplo, $e^{2\pi i} = e^0$, pero $2\pi i \neq 0$.

Answer 3

Si la indicada regla es válida depende de lo $x$ es, y en donde los valores de $a,b$ se debe vivir. La mayoría de los casos importantes donde la regla es cuando se $x$ en un indeterminado (en cuyo caso no importa demasiado donde $a,b$ son tomadas): si el monomials $x^a$ $x^b$ es la misma, $a$ $b$ debe ser el mismo. En la misma vena, si $x^a$ $x^b$ designar las funciones de decir $x\in\Bbb R_{>0}$ (e $a,b$ son constantes, expresiones que no contengan$~x$), entonces la igualdad de las funciones de $x^a=x^b$ (más propiamente,$(x\mapsto x^a)=(x\mapsto x^b)$) implica $a=b$ (usted puede comprobar esto mediante la diferenciación de ambos lados y, a continuación, poner $x=1$ en los derivados).

Howerever si $x$ designa algunos de hormigón (aunque posiblemente no especificado) de valor, entonces la implicación es, en general, no es válido, como se ha ilustrado con numerosos ejemplos (el caso de $x=1$ es el ejemplo más espectacular de la falla). Bajo algunas condiciones específicas de la regla sigue siendo válido (como$x\in\Bbb R_{>1}$$a,b\in\Bbb R$), pero debe ser muy explícito acerca de estas condiciones.

Una lección para aprender de esto es que una ecuación como $x^a=x^b$ no tiene un significado preciso en el aislamiento, y debe ser acompañada de una indicación de lo que los símbolos significan.

Answer 4

Que debe ser verdadera si x no es igual a 0, 1 o -1.

Answer 5

Dado $x^a = x^b$;

A continuación,$\frac{x^a}{x^b} = x^{(a-b)} = 1$ ;

Deje $a-b = n$ ;

A continuación,$x = 1^{(1/n)} = 1^{1/n}$ ;

Por lo $a=b$ si $x$ es un número real , no uno , no de cero , no es infinito.