Deje $X$ ser un esquema. Suponga que $X = \cup_i X_i$ es finito abierto que cubre, de tal manera que el $X_i$ así como sus intersecciones $X_i \cap X_j$ están concentradas, es decir, cuasi-compacto y cuasi-separados (vea Daniel Murfet notas sobre concentrada esquemas así como EGA IV.1). De lo anterior se sigue que el $X$ se concentra? Estoy casi avergonzado a esta pregunta.
Claramente $X$ es cuasi-compacto, como una unión finita de cuasi-compacto subespacios. Con el fin de mostrar que el $X$ es cuasi-separado, es suficiente para mostrar que para abrir cuñados $U \subseteq X_i$ $V \subseteq X_j$ su intersección $U \cap V$ es cuasi-compacto. Bueno, esto es claro para $i=j$ desde $X_i$ es cuasi-separados. Pero, ¿qué sucede para $i \neq j$? De alguna manera tenemos que usar el $X_i \cap X_j$ es cuasi-compacto.
Aquí es más una idea abstracta: Tenemos que demostrar que $\Delta : X \to X \times X$ es un cuasi-compacto de morfismos. Esto puede ser comprobado de forma local en la base, por lo que es suficiente para demostrar que los morfismos $X_i \cap X_j \to X_i \times X_j$ son cuasi-compacto. Bien, $X_i \cap X_j$ es cuasi-compacto, por lo tanto, por (EGA IV, 1.1.2 (v)) basta con que $X_i \times X_j$ está separado. Pero no asumimos que el $X_i$ son separadas, son sólo cuasi-separados.
Tenga en cuenta que en realidad EGA IV.1.2.7.c demuestra la demanda, pero no entiendo la prueba. Aquí está mi traducción: "sabemos que en el fin de demostrar que $\Delta : X \to X \times X$ es cuasi-compacto, es suficiente para demostrar que la inversa de imágenes $X_i \cap X_j$ de la $X_i \times X_j$ son cuasi-compacto (1.1.1)". Aquí, (1.1.1) es sólo la definición de un cuasi-compacto de morfismos, después de lo cual se señaló que no es suficiente para demostrar esto con respecto a un afín(!) abrir la cubierta. Pero aquí, sólo tenemos abierto que cubre consta de cuasi-compacto esquemas. Esto parece ser una brecha?
O hace la siguiente declaración de retención (que podríamos aplicar a $\Delta$)? Si $f : X \to Y$ es una de morfismos y $Y$ está cubierto por la cuasi-compacto abrir subconjuntos $Y_i$ de manera tal que cada una de las $f^{-1}(Y_i)$ es cuasi-compacto, entonces $f$ es cuasi-compacto. Dudo de que esto es cierto sin ninguna suposición sobre la $Y$.
Edit. Lo siento, creo que ahora puedo responder a mi pregunta. El tratamiento de la cuasi-compacto morfismos es mejor en EGA I (1970), §6. Específicamente, con el fin de mostrar que el $X_i \cap X_j \to X_i \times X_j$ es cuasi-compacto, basta con que $X_i \cap X_j$ es cuasi-compacto y $X_i \times X_j$ es cuasi-separados por la Prop. 6.1.5. (v), y tenemos tanto. Tenga en cuenta que EGA VI.1.2.7 se reproduce como EGA I. 6.1.12, pero aún así, al final, se refiere a la definición de cuasi-compacto de morfismos, que no parece suficiente?
Entonces, ¿qué más prueba directa, mostrando directamente que (con la notación anterior) $U \cap V$ es cuasi-compacto? Uno puede deletrear la prueba anterior de la siguiente manera (todavía bastante complicado):
$X_i \cap X_j \to (X_i \cap X_j) \times (X_i \times X_j)$ es un cambio de base de la diagonal de a $X_i \times X_j$, que es cuasi-compacto, por lo tanto también es cuasi-compacto. Desde $U \cap V$ es la preimagen de la cuasi-compacto abrir subscheme $(X_i \cap X_j) \times (U \times V)$, es cuasi-compacto.
(Por lo general eliminar una pregunta cuando voy a resolver rápidamente antes de una respuesta llega, pero esta vez no voy, porque ya algunos upvotes y por lo tanto parece ser interesante para los demás, también. Además, me gustaría saber si usted también está de acuerdo que el EGA prueba tiene un hueco.)
