Explainer de Fourier del espacio-tiempo

Question

Me gustaría educar a mí mismo en el "espacio-tiempo de la transformada de Fourier de análisis". Entiendo simple de Fourier que tomar una señal en el dominio del tiempo a la frecuencia bastante bien - es decir, f(t) -> F(s). Sin embargo, el espacio-tiempo de Fourier, especialmente en el campo de la Electrodinámica clásica, describe una variación de la distribución de carga como una función de q(x, y, z, t) y se transforma en P(omega, k), donde omega es la frecuencia angular y k es la longitud de onda. Estoy tratando de envolver mi cabeza alrededor de omega y k en este contexto? Frecuencia Angular en torno a qué, exactamente? Es k un vector o escalar? Estoy muy confundido por la simbología y sólo necesitan un marco de referencia.

¿Alguien sabe de un manual que describe el espacio genérico de tiempo de la transformada de Fourier? Para ser claro, yo estoy tratando de hacer mi camino a través de Jackson Clásica ED los libros de texto.

Un comentarista de abajo ha pedido para el contexto. Aquí es un área en la que he encontrado el espacio-tiempo de Fourier y quisiera que se entienda mejor:

El espacio-tiempo transformada de Fourier de la forma esférica actual de la membrana en tres dimensiones en coordenadas esféricas, más el tiempo es:

$$M(s, \Theta, \Phi, \omega)=\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\rho(r, \theta, \phi, t) \exp(-i 2\pi s r[\cos\Theta\cos\theta+\sin\Theta\sin\theta\cos(\phi-\Phi)])\exp(-i\omega t)r^2\sin\theta d\phi d\theta dr dt$$

Answer 1

La frecuencia Angular es la forma en que es debido a $\sin$ $\cos$ han simple derivados en radianes, y el período de $2\pi$ en radianes. Así, con el fin de convertir ordinaria de la frecuencia en una $\sin$, $\cos$, y $\operatorname{e}^{ix}$ entiende requiere una multiplicación por $2\pi$.

$\mathbf{k}$ es un vector, y es conocido como el número de onda. Sus componentes están relacionadas con la longitud de onda en diferentes direcciones de la misma manera período está relacionado con la frecuencia angular.

El espacio-tiempo de la transformada de Fourier está a sólo cuatro de Fourier, uno para cada dimensión. Tradicionalmente la convención de signos se elige de modo que una onda con frecuencia angular $\omega$ se propaga en la dirección $\mathbf{k}$ puntos. Eso significa que: $$\begin{align} \tilde{f}(\omega,\mathbf{k}) &\propto \int f(t, \mathbf{x}) \operatorname{e}^{i\omega t - i \mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \operatorname{d} t \operatorname{d}^3x \\ f(t, \mathbf{x}) & \propto \int \tilde{f}(\omega,\mathbf{k}) \operatorname{e}^{-i\omega t + i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}} \operatorname{d}\omega \operatorname{d}^3k, \end{align}$$ donde las constantes de proporcionalidad son elegidos por la convención, y a diferentes personas el uso de los diferentes convenios. Yo, personalmente, prefiero el simétrico/unitario convención.

Cuando se trabaja en forma cilíndrica y/o sistemas de coordenadas esféricas usted complicar las cosas un poco. Que se mueve de la recta Euclidiana de Fourier transforma en el reino de Hankel se transforma y, en el caso de coordenadas esféricas, armónico esférico expansiones. Todos estos son ejemplos de álgebra lineal de la escritura de una función en un determinado ortonormales.