Integrar la raíz de $\sec x$

Question

Cómo evaluar la integral

$$\int \sqrt{\sec x} \, dx$$

Leí que no está definida.
Pero, ¿por qué es así? ¿Contradice algunas reglas básicas? Por favor, acláralo.

Answer 1

Primero note que $\cos x = 1 - 2\sin^2 \Big(\frac{x}{2}\Big)$ luego

$$\int \frac{1}{\sqrt{\cos x}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1 - 2\sin^2 \Big(\frac{x}{2}\Big)}} \, dx = \color{red}{2F\Big(\left.\frac{x}{2}\right\vert 2\Big)} + C$$

donde $F(\left.x\right\vert m)$ es una Integral Elíptica de Primer Tipo.

Answer 2

$$\int_{a}^b \frac{1}{\sqrt{\cos(x)}}dx$$

se define si $]a,b[\subset ]-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi[$. Pero no se puede calcular con las funciones habituales, necesitarás funciones "especiales":

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_elíptica#Integral_elíptica_incompleta_del_primer_tipo

Answer 3

$$\int \sqrt{\sec x} \,dx = \int \frac{1}{\sqrt{\cos x}}\, dx$$; Ahora sustituyendo $u = \cos x$ entonces se sigue que $$du = - \sin x \, dx = - \sqrt{1-u^2} dx.$$ Por lo tanto:

$$\int \sqrt{\sec x} \, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{u(1-u^2)}}du$$ Esta integral es una integral elíptica.