Al evaluar ecuaciones cuadráticas, siempre iguala a cero:
$$ax^2+bx+c=0$$
¿Por qué cero? ¿Es posible usar otro número para otro propósito?
El valor de c es un número simple sin variable. Entonces puedes mover cualquier valor del lado derecho al izquierdo y simplemente se convertirá en parte de c. Ejemplo: $$x^2+x-6=6$$ $$x^2+x-12=0$$
Por lo tanto, podemos establecer el lado derecho igual a cualquier número que deseemos. Por lo general, lo establecemos en cero porque esto ayuda a resolver más adelante. Ejemplo: $$(x+3)(x-2) = 6$$ vs $$(x-3)(x+4) = 0$$
El segundo es más fácil de resolver porque sabemos que cualquier cosa multiplicada por 0 es 0. Eso significa que podemos resolver cada parte individualmente.
EDITAR: Después de alcanzar la forma factorizada, sabemos que la respuesta está en la forma de algo multiplicado por algo más igual a un número. Si ese número es no 0, entonces debemos tener en cuenta ambas partes. Por otro lado, si es 0, entonces simplemente podemos preguntar qué hará que una de esas partes sea cero. Entonces no importa cuál sea la otra parte.
$$(x-3)(x+4) = 0$$ Aquí, sabemos que si $(x-3) = 0$ o $(x+4) = 0$ entonces el conjunto será igual a cero, porque cualquier cosa multiplicada por 0 es 0. Entonces, simplemente podemos preguntar qué valor de $x$ hará que $(x-3) = 0$ sea verdadero?
Compara esto con la versión que no se establece en cero: $$(x+3)(x-2) = 6$$ Ahora, no podemos hacer esto más simple. Debemos averiguar qué valor de $x$ hará que toda la expresión sea verdadera desde el principio.
El segundo es más fácil de resolver porque sabemos que cualquier cosa multiplicada por 0 es 0. No lo entendí, ¿cuándo necesitaremos multiplicar por 0?
@GustavoBandeira: Tienes un producto de dos factores, $(x-3)$ y $(x+4)$, que es $0$. Un producto de dos factores es $0$ si al menos uno de los factores es $0$. Así que sabemos que o bien $x-3=0$ o $x+4=0$, por lo tanto vemos inmediatamente que las soluciones son $3$ y $-4. Por otro lado, no hay una regla general de este tipo si el producto es $6$ (o cualquier otro número distinto de cero).
¡Absolutamente! Pero piensa en lo que terminas teniendo. Considera la ecuación cuadrática
$x^2 + 2x + 3 = 2 \, . $
Si restamos 2 de ambos lados, obtenemos $x^2 + 2x + 1 = 0.$ Lo que significa que estas dos ecuaciones son solo dos formas de expresar lo mismo. Así que, para ahorrarte la molestia de restar 2 de ambos lados, te presentarán $x^2 + 2x + 1 = 0$ en lugar de $x^2 + 2x + 3 = 2$.
De hecho, ni siquiera necesitas un número en el lado derecho. ¿Qué tal
$2x^2 + 5x - 9 = x^2 + 3x - 10 \, ? $
Podría restar $x^2 + 3x - 10$ de ambos lados y terminar con nuestro amigo $x^2 + 2x + 1= 0$. Cualquier ecuación de la forma $px^2 + qx + r = sx^2 + tx + u$ se puede simplificar - ordenar, por así decirlo - en la forma $ax^2 + bx + c = 0.$ Cuando te encuentres con una en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ simplemente significa que alguien la ordenó todo de antemano por ti. (¡Y no cambia las soluciones!)
$$ax^2+bx+c=0 \implies ax^2+bx=-c$$
$$ax^2+bx+c-d=0 \implies ax^2+bx+c=d$$
Generalmente queremos que el cuadrático sea igual a cero, sin embargo, porque las soluciones son las raíces del cuadrático. Las raíces de funciones, es decir, la solución de funciones de la forma $f(x)=0$, son muy importantes.
La respuesta de DaleSwanson es buena. Solo incluyo esto como una respuesta porque es demasiado largo para un comentario:
Considera esto, si $a_1, a_2 \neq 0$ entonces $y=a_1x^2+b_1x+c_1$ y $y=a_2x^2+b_2x+c_2$ dan parábolas en el plano $xy$ para elecciones específicas de $b_1, b_2, c_1, c_2$. Estas parábolas se intersecan si la ecuación $a_1x^2+b_1x+c_1 = a_2x^2+b_2x+c_2$ tiene una solución. Al llevar todos los términos al lado derecho se tiene $(a_2-a_1)x^2+(b_2-b_1)x+c_2-c_1=0$. Sea $a=a_2-a_1$, $b=b_2-b_1$ y $c=c_2-c_1$ y obtenemos la ecuación estándar $ax^2+bx+c=0$. Suponer que $a \neq 0$ equivale a suponer que $a_2 \neq a_1$ y la existencia de soluciones ahora caracteriza las ubicaciones (si las hay) donde las parábolas $y=a_1x^2+b_1x+c_1$ y $y=a_2x^2+b_2x+c_2$ se intersecan.
Más generalmente, supongamos que $y=f(x)$ y $y=g(x)$ son gráficas de polinomios con $deg(f)=m$ y $deg(g)=n$. $m
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Sí, y luego puedes simplemente restar el número de ambos lados....
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Si utilizas otro número, digamos $d$, en lugar de $0$, entonces también puedes estudiar $ax^2 + bx + e = 0$ con $e=c-d$. Así que esto cubre todos los casos posibles de interés.
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Si deseas igualarla a otra expresión polinómica, puedes mover el lado derecho hacia la izquierda y obtendrás otra expresión que da $P(x)=0$ para un polinomio $P$. Esto incluye casos donde permites que el lado derecho sea una constante (lo cual, al moverlo, resulta en otra expresión $P(x)=0$ con $P$ siendo una expresión cuadrática).
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En otras palabras, dejar el lado derecho igual a cero es una forma reducida en expresiones polinómicas que encapsula otras posibles expresiones de igualación de dos polinomios. Por otro lado, si igualas el lado derecho para que sean funciones trascendentales como $\sin$, creo que las cosas comienzan a complicarse mucho.
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Es una _forma normal_ que nos gusta estudiar: LHS = 0. De hecho, es trivial demostrar que siempre podemos tomar cualquier ecuación de la forma LHS = RHS y reescribirla en esa forma normal.
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Volvamos a la antigua época en la que no existían números negativos fuera de China e India, Al-Juarismi tenía muchos tipos de ecuaciones cuadráticas: $x^2=5x+6$, $x^2+5x=6$, $x^2+6=7x$ eran de diferentes tipos y requerían análisis diferentes. Pero con números negativos permitidos como coeficientes, podemos hacer que el lado derecho sea igual a $0$ en todos los casos, por lo que solo hay un tipo.