Hacer sentido de los ángulos en $\mathbb{R^n}$

Question

Una de las definiciones del producto escalar de dos vectores es la siguiente

$$\vec{a} \bullet \vec{b}\ \ \stackrel{\text{def}}{=} \ \ \|\vec{a}\| \,\|\vec{b}\|\cos(\theta)$$

Donde $\theta$ denota el ángulo entre los vectores $\vec{a}$$\vec{b}$. Pero para que el ángulo de $\theta$ a 'sentido', $\vec{a}$ $\vec{b}$ debe estar en el mismo plano correcto? es decir, debe existir algún espacio de dos dimensiones, por ejemplo,$\mathbb{R^2}$, que tanto $\vec{a}$ $\vec{b}$ son un elemento de.

Ahora podemos siempre encontrar un plano que tanto $\vec{a}$ $\vec{b}$ otoño. Pero ahora surge la pregunta, ¿estamos encontrando el ángulo de $\theta$ con respecto al plano que se encuentran en (lo que estoy tratando de decir es: Es $\theta$ denota el ángulo entre el $\vec{a}$ $\vec{b}$ en un plano que ambos caen en?), o es con respecto a los vectores de la base de la original espacio vectorial de que mienten en un principio.

Aquí un ejemplo en el que se espera conseguir a través de lo que te estoy preguntando:

Tome $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R^4}$.

Si podemos encontrar un plano que tanto $\vec{a}$ $\vec{b}$ ambos se encuentran en, a continuación, 'el ángulo entre ellos', $\theta$, tiene sentido. Si no, entonces lo que esencialmente se dice es $\theta$ es el ángulo entre dos vectores en cuatro dimensiones del espacio, y no estoy seguro de que un ángulo en $\mathbb{R^4}$ tiene algún tipo de significado.

Mi pregunta es entonces esencialmente se reduce a la siguiente.

• Son ángulos sólo definido (¿o es que sólo tienen significado) en $\mathbb{R^2}$?
• Si tenemos dos vectores en $\mathbb{R^n}$, es la única manera de encontrar el ángulo entre ellos' por primera búsqueda de un plano (dos dimensiones de espacio vectorial) que ambos se encuentran en y, a continuación, la solución para que el ángulo con respecto a ese plano?

Answer 1

Sí, $\theta$ es el ángulo con respecto al plano que contiene a$\vec a$$\vec b$. Si $\vec a$ $\vec b$ son no-cero, este plano es único a menos $\vec b$ es un múltiplo de a $\vec a$ (en cuyo caso $\theta=0$). Por lo $\theta$ está bien definido.

Pero otro enfoque es definir el producto escalar de los vectores $\vec{a}=(a_1,\ldots,a_n)$ $\vec{a}=(a_1,\ldots,a_n)$

$$\vec{a} \bullet \vec{b} = \sum_{i=1}^na_ib_i$$

A continuación, se puede definir el ángulo entre la entonces como

$$\theta = \arccos \left(\frac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{|\vec a||\vec b|}\right)$$

Esto le da la misma respuesta como la búsqueda de un plano que contiene a $\vec a$ $\vec b$ y, a continuación, encontrar el ángulo con respecto a ese plano.

Así que para responder a tus dos preguntas:

Son ángulos sólo definido (¿o es que sólo tienen significado) en $\mathbb R^2$?

Que es realmente la definición de "ángulo" que usted prefiera.

Si tenemos dos vectores, es la única manera de encontrar el ángulo entre ellos' por primera búsqueda de un avión que ambos se encuentran en y, a continuación, la solución para que el ángulo con respecto a ese plano?

No. Generalmente, un método mucho más sencillo es calcular el producto escalar y el uso de la segunda fórmula de arriba.

Answer 2

Sea cual sea la dimensión (finita) es, dos vectores no cero $\vec{a}$ y $\vec {b}$ definir un plano de ecuación $\vec v=\lambda\vec a+\mu\vec b$. En este plano es definido el ángulo $\theta$ por su ecuación $\vec{a} \bullet \vec{b}\ \ \stackrel{\text{def}}{=} \ \ ||\vec{a}||||\vec{b}||\cos(\theta)$ si los vectores son colineales no tienen un plan pero hay $\cos (\theta)=1$ % que $\theta =0$.

(de dimensión infinita tienes todavía esto cuando el espacio de Hilbert con un producto escalar).

Answer 3

Siempre y cuando usted no está teniendo en cuenta orientado ángulos (es decir, no importa si uno es "giro a la izquierda" o "giro a la derecha", en algún sentido), no hay nada especial acerca de la $\Bbb R^2$: los ángulos se pueden definir en cualquier $\Bbb R^n$, de hecho en el real del producto interior en el espacio. Esto es debido a que el producto escalar se puede definir desde un punto de vista algebraico forma (la suma de todos los productos correspondientes de las coordenadas), y luego de la primera ecuación puede servir como definición de ángulo entre cualquier par de vectores distintos de cero (el hecho de que algunos de los verdaderos $\phi$, lo que la ecuación se puede encontrar es una consecuencia directa de la de Cauchy-Schwarz desigualdad). Generalmente se toma la solución para $\theta$ que se encuentra en el intervalo de $[0,\pi]$ a ser el ángulo; en particular, ya que este método sólo calcula el coseno del ángulo, es decir, no digo ángulos opuestos aparte, y podemos elegir el ángulo de ser positivo por definición.

Como para el cálculo del ángulo "en el plano generado por $\vec a$ $\vec b$" (asumiendo que no son múltiplos escalares de uno a otro), no es muy claro lo que quiere usted decir con eso, pero, en cualquier caso, cuando se hace precisa que debe dar la misma respuesta que el otro método, o, posiblemente, el opuesto al ángulo. Asumiendo que usted sabe acerca de los ángulos en $\Bbb R^2$, una manera de hacer esto es elegir un ortonormales par de vectores en el lapso de $\vec a,\vec b$, y las usan para identificar que abarcan con $\Bbb R^2$. Uno fácilmente se demuestra que la "forma habitual" para definir los ángulos en $\Bbb R^2$ da un ángulo de la misma magnitud que con el método anterior, aunque dependiendo de lo que es la "forma habitual", es posible distinguir aristas positivas y negativas de la misma magnitud (ya que en $\Bbb R^2$ "giro a la izquierda" y "girar a la derecha" son cosas que pueden ser distinguidos claramente, a diferencia de la situación en dimensiones superiores). Desde el punto de productos de $\vec a,\vec b$ se ha cambiado en la identificación de la extensión con $\Bbb R^2$, el "coseno" método da el mismo resultado en $\Bbb R^n$ después de la restricción a $\Bbb R^2$, y así en magnitud el mismo ángulo, como tomar la "costumbre ángulo" en el lapso de $\vec a,\vec b$.

En particular, esta forma de determinar el ángulo no depende de la elección de vectores ortonormales en el intervalo, posiblemente con la excepción de la señal. Y de hecho, si uno hace es definir un ángulo con signo en $\Bbb R^2$, luego de que el ángulo no depende de la elección de vectores ortonormales. Es por esta razón que en las dimensiones superiores no orientadas en un ángulo" puede ser definido de una manera coherente.