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El cálculo, mi intuición dice que el área de un círculo con radio $$ C=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1, 0 \le z \le 1\} $ debe ser $r$, porque creo si todos los segmentos de radios están elevarse perpendicularmente hasta el perímetro del círculo unidad (en el plano $2 \pi \cdot R^2$), entonces el área se conserva.
Sé que estoy mal pero (cualitativo) no entiendo por qué (Nota nunca aprendí la teoría de la medida).
He creado una animación que muestra lo que yo creo que el OP quiere decir con "todos los radios de segmentos deben ser planteadas de forma perpendicular al perímetro del círculo unidad":
Si de hecho esta es la intención de la interpretación, a continuación, permítanme hacer algunas observaciones:
Los radios de los segmentos, cuando se "levantó perpendicularmente a la unidad de círculo", de hecho se parecen a la forma de un cilindro (sin la parte superior o inferior); el área de la superficie lateral del cilindro que es, como el OP dice, $2\pi R^2$.
El problema con esta visualización puede ser entendida mejor imaginando cada uno de los radios de los segmentos, cuando en la "recta" de la posición, como se espesa en una franja rectangular. En la posición vertical, las tiras forma de una superficie cilíndrica. Pero como se doblan hacia abajo, las tiras se superponen el uno al otro. Ver la animación a continuación:
Así que en un nivel intuitivo, que es donde el factor de $1/2$ viene de: la necesidad de prevenir la infinitesimal listones rectangulares a partir de la superposición de la otra se dobla hacia abajo.
Su intuición es casi correcta. Dibujar en un montón de pequeños radios desde el centro del círculo hasta el borde. Este se divide el círculo en un montón de regiones delgadas. Y todas estas regiones tienen una altura de $R$. Pero las regiones son aproximadamente triángulos, no rectángulos. Así que debemos tener \begin{align*} \text{Total Area} &= \frac12 (\text{Total of all bases}) (\text{Height}) \\ &= \frac{1}{2} (2\pi R) (R) \\ &= \pi R^2. \end{align*} Obtuvo $2 \pi R^2$ lugar con su método, porque se le olvidó el factor de $\frac12$, el tratamiento de la triangulares pequeñas regiones rectangulares en su lugar.
La siguiente imagen también puede ayudar a:
En la imagen de arriba a la izquierda, se puede ver dibujado en todos los aproximadamente triangular regiones. A la derecha, se muestra que el total de estos triángulos es de aproximadamente $\pi R^2$, por el forro ellos hasta formar un rectángulo aproximado con base $\pi R$ y la altura de la $R$.
Voy a dejar esto como una respuesta porque a pesar de que es en los comentarios de arriba, todas las otras respuestas (en mi humilde opinión, sin ánimo de ofender a nadie) involucrar más a las estructuras que se necesitan para responder a la pregunta, esencialmente, el concepto de volumen y área.
En una dimensión, tenemos el concepto de longitud. En dos, el concepto de área. En tres, el concepto de volumen.
Cuando se levanta todos los radios de los segmentos de tangente en el perímetro entonces usted está involucrando a la tercera dimensión, y por lo tanto el concepto de volumen codificadas por ellos. Deje que su longitud se $R$ que es de los radios de los segmentos. A continuación, el volumen encerrado es $ 2 \pi R^2$. Ahora divida por la tercera dimensión, es decir, $D=2R$ (ya que al aumentar el radio, se están levantando dos veces porque $D=2R$, en lugar de sólo una vez como por el concepto habitual de volumen) y, a continuación, se queda con la verdad de la zona, que es $\pi R^2$.
Es cierto que si se dibuja líneas desde cada punto de la circunferencia al centro, que cubra todo el interior del círculo sin que se solapen (excepto en el centro).
Sin embargo, ese no es el límite de un proceso de cada vez más finos divisiones que cubren el interior del círculo más y de forma más precisa. Por el contrario, si se divide la circunferencia en $n$ intervalos, y la construcción de las tiras hacia el centro, se encuentra que no siempre se superponen para cualquier finito $n$, y lo que es más, el grado de solapamiento se mantiene más o menos constante, se aproxima (en el límite de $n \to \infty$) un factor de $2$.
Es por eso que este proceso produce una limitación de la cobertura total de $2 \pi r^2$, a pesar de que el área del círculo es sólo la mitad de eso. El proceso que cubre el interior del círculo más y de forma más precisa es dibujar cuñas (no en tiras) de la circunferencia hacia el centro del punto. En el límite, estas cuñas de producir cero se superponen, y ya que ellos tienen un colectivo de área equivalente a la mitad de las tiras, que el rendimiento de la correcta área total: $\pi r^2$.
Si cortamos un círculo en $N$ sectores iguales ($N=12$ en la imagen de arriba) y reorganizar las piezas que tenemos algo que está cerca de un rectángulo (más y más como $N$ aumenta con la altura, $R$ y la base dada por la mitad del perímetro del círculo. De ello se deduce que el área de un círculo es la mitad del producto entre su longitud y su radio, es decir,$\pi R^2$.
Un enfoque alternativo es el siguiente: vamos a $L(R)$ ser la longitud de un círculo con un radio de $R$ $A(R)$ de su área. Tenemos $L(R)=2\pi R$ $A(R)=C R^2$ para algunos (por el momento) desconocido constante, ya que mediante la duplicación de la radio tenemos $\frac{A(2R)}{A(R)}=4$. El área del anillo entre dos círculos concéntricos con radios $R,R+\varepsilon$ puede ser aproximada con el área de un rectángulo con altura $R$ y base $L(R)$, por lo tanto: $$ A(R+\varepsilon)-A(R) \approx 2\pi R \varepsilon. $ $ , En consecuencia, $$ \frac{d}{dR} A(R) = 2\pi R = \frac{d}{dR}CR^2 = 2C R $$ por lo tanto $C=\color{red}{\pi}$.
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