una caracterización del espacio de $L^p$

Question

La siguiente pregunta debería ser parte de las preguntas que me preguntó recientemente aquí Probar o refutar una afirmación relativa a $L^p$ espacio

Si $g \in L^p(\Omega, \lambda)$ donde $\Omega$ es un subconjunto acotado de $\mathbb{R^n}$, $p>1$ y $\lambda$ es la medida de Lebesgue. Por parte del Titular de la desigualdad, sabemos que para cualquier conjunto medible $E \subset \Omega$, $$\int_E |g| d \lambda \le ||g||_p \lambda (E)^{\frac{p-1}{p}}$$.

Ahora la pregunta es, si no sale de una constante C, tal que para cualquier conjunto medible $E \subset \Omega$, $$\int_E |g| d \lambda \le C \lambda (E)^{\frac{p-1}{p}}$$ Does this imply $g \en L^p(\Omega \lambda)$?

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Aquí está mi trabajo parcial. Traté de usar el de la dualidad de la $L^q$ espacio por la contradicción o el hecho de que las funciones simples son densos para probar esta caracterización, pero no puedo controlar la constante. Creo que necesito un poderoso elemental de la desigualdad. O tal vez esta caracterización no es cierto.

Cualquier comentario se agradece. Gracias!

Answer 1

La condición no implica que el $g\in L^p$.

Considerar el $g(x)=x^{-1/p}$ $[0,1]$. Obviamente, $g(x)\not\in L^p([0,1])$.

Que $E_\alpha=\{x:x\le\alpha^{-p}\}$, luego $|E_\alpha|=\alpha^{-p}$ y $$\begin{align} \int_{E_\alpha}g(x)\,\mathrm{d}x &=\frac{p}{p-1}\alpha^{1-p}\\ &=\frac{p}{p-1}|E_\alpha|^{\frac{p-1}p} \end{alinean} $$ ya que es más pequeño en cualquier otro conjunto de medida $g(x)$ $\alpha^{-p}$, tenemos $$ \int_Eg (x\le\frac \,\mathrm {d} {p} {p-1} x) | E | ^ {\frac {p-1} p} $$

Answer 2

Más tarde mis amigos demostraron que la condición de la pregunta es si y sólo si $g$ es débil $L^p$.

Aquí está la prueba:

Si $g$ satisface la condición de la pregunta, entonces deje que $E=\{|g|>\mu\}$, entonces tenemos $$\mu |E| \le \int_E |g| \le C|E|^{1-1/p}$$Hence $\mu | E | ^ {1/p} \le C $, thus $g $ is weak $L ^ p$.

Si $g$ % débil $L^p$, entonces el $\int_E |g|=\int_0^{\infty} |E \cap \{|g|>\mu\} d \mu \le t|E| + \int_t^{\infty}\frac{C}{\mu ^p} d \mu \le t|E|+Ct^{1-p}, \forall t>0$. Por lo tanto, el estado sigue dejando $t=|E|^{-1/p}$.

En particular, la prueba muestra existe $g \in L^{p,w}-L^p$ tal que $g$ satisface la condición en la pregunta.