¿Cómo es la tropicalización como tomar el límite clásico?

Question

Hay un folk — yo no puedo llamar a un teorema — "hecho" de que la relación matemática entre el Complejo y Tropical de la geometría es análoga a la relación física entre la Cuántica y la mecánica Clásica. Creo que me enteré de esto hace años en Esta Semana se Encuentra. Me pregunto si alguien me puede dar una matemática precisa declaración de este "hecho". O al derecho introducción a la tropical matemáticas.

Que puedo hacer al principio. En la mecánica clásica, más o menos (más abajo voy a mencionar algunas de las maneras en lo que te voy a decir que es falso), cuando un sistema pasa de una configuración a otra, se toma la ruta que minimiza algo de "acción" (esta idea fechas, al menos, a Maupertuis, en 1744, y la Wikipedia da antiguos griegos análogos). Por lo tanto, para que un sistema de transición de estado de Un estado a C en dos segundos, después de un segundo está en el estado B que minimiza la suma de la acción para obtener a partir de Un a B además de la acción para obtener de B a C. Para la comparación, la mecánica cuántica asigna a la par a,B de una "amplitud", y la amplitud para ir de Una a C en dos segundos es la suma de todos los B de la amplitud para ir a formar Un a B veces la amplitud para ir de B a C. (Este es el principio básico de Heisenberg de la mecánica de la matriz.) De todos modos, podemos entender ambas situaciones dentro de una misma lengua, considerando la matriz, indexados por los estados, lleno de cualquiera de las acciones o de las amplitudes de la transición. En el quantum caso, la multiplicación de la matriz es el heredado de la habitual x/+ aritmética C. En el caso clásico, es el +/min aritmética de la tropical anillo T.

Vamos a ser más precisos. Para cualquier ruta por el espacio de configuración de su sistema, Hamilton define una acción Acción(ruta de acceso). El clásico permitido que las trayectorias son las rutas críticas de la acción (rel valores de límite), mientras que si usted cree en la ruta integral, la cuántica, la amplitud de la se \int exp(-(ih)^{-1} Acción(camino)) dcamino, donde la integral rangos de todas las rutas con lo prescrito valores límite y la medida dla ruta no existe (me dijo "si"). Aquí h es la constante de Plank, y la fase estacionaria aproximación deja en claro que a medida que h tiende a 0, la integral es apoyado a lo largo de la clásica permitido trayectorias.

Por supuesto, el camino de la integral no existe, así que voy a describir una tercera (y más riguroso) ejemplo, esta vez en la estadística, no cuántica, mecánica. Deje X ser el espacio de posibles configuraciones de su sistema, y supongamos que X tiene una medida natural dx. Vamos E: X \a R ser la energía de una configuración. A continuación, a una temperatura T, la probabilidad de que el sistema está en el estado de x es (no normalizados) exp(-T^{-1} E(x)), es decir, si f : X \a R es cualquier función, se espera que el valor de f es (haciendo caso omiso de la convergencia; digamos que X es compacto, o E crece rápidamente y f no, o...):

<f>_T = \int_X exp(-T^{-1} E(x)) f(x) dx / \int_X exp(-T^{-1} E(x)) dx

Es claro que a medida que T tiende a infinito, la integral anterior se concentra en la x que minimice el Correo. En la zona tropical de la tierra, la suma y por lo tanto la integración es sólo minimización, por lo que en la T a 0, el límite de la integral se convierte en una especie de "tropical" integral.

Aquí están algunos de los problemas que estoy teniendo:

1. Cuando se enfrían lentamente de un sistema, no necesariamente establecerse en el estado que, a nivel mundial, se minimiza la energía, sólo en un local-estado mínimo. Y cosa buena también, de lo contrario no habría barras de chocolate.
2. Los problemas son peores para la mecánica. Clásicamente permitido rutas no son necesariamente ni siquiera los mínimos locales, solo los puntos críticos de la función de Acción, por lo que la analogía entre la cuántica y cálido de los sistemas, no es perfecta. Hay algo como "min" que encuentra puntos críticos en lugar de los mínimos?
3. Más generalmente, la ruta integral es muy atractivo, y, definitivamente, se describe una "matriz", indexados por el espacio de configuración. Pero para sistemas genéricos, la conexión de cualquiera de las dos configuraciones son muchos clásico permitido trayectorias. Así que sea cual sea la clásica analógica de la mecánica de matrices es decir, es una matriz con valores en los conjuntos (o conjuntos de funciones a la tropical anillo), no sólo en la zona tropical de los números.
4. Otros que "tome las ecuaciones y sustituir cada + con min y cada x +", realmente no sé cómo "tropicalize" un objeto matemático.

Oh, puede que alguien con más puntos que tengo por favor la etiqueta de este "tropical-la geometría"?

Answer 1

La analogía con los que he trabajado a cabo a partir de piezas de aquí y allá va como esto:

utilizando el logaritmo y exponencial, se define para dos números reales x y y de la siguiente operación binaria x §h y := h ln( e^(x/h) + e^(y/h) ), que depende de algunos reales positivos parámetro h. A continuación, observamos que a medida que h->0 el número x §h y tiende a max(x,y). (Prueba: supongamos, sin pérdida de generalidad que x>y, entonces (y-x)/h <0. Pero desde h ln( e^(x/h) + e^(y/h) ) = h ln( e^(x/h) . (1+e^((y-x)/h) como h->0 tendemos a h ln (e^(x/h) . (1+0) ) = x = max(x,y). QED.)

Ahora, en la mecánica cuántica canónica de relaciones de conmutación entre las posiciones y los ímpetus de los operadores de lectura [u,p_v] = i manejadores delta(uv) y en el límite de manejadores->0 los conmutadores por lo tanto tienden a 0, que dice que debemos recuperar la mecánica clásica, donde todo los viajes. Y en la mecánica cuántica, lo que importa son wavefunctions que son superposiciones de las cosas de la forma A. e^(manejadores) donde a es cierta amplitud y algunos de fase (la acción de la ruta).

Volviendo a §h podemos reescribir e^( (x §h y)/h ) = e^(x/h) + e^(y/h), con lo que hay, tu analogía: el tropical matemáticas funcionamiento max(,) es algún tipo de límite clásico de la (así cuántica) operación +.

Answer 2

Comencé una página nLab - mecánicos de la matriz - proporciona acoplamientos a las discusiones de esta idea.

Answer 3

Creo que, como para (1) se mezcla una muy pequeña clase de definir con exactitud los problemas físicos con un muy pequeño número de grados de libertad, lo cual es descrito por cosas como las ecuaciones, con la ampliación de los sistemas físicos, como el mundo real, la mayoría de cuyas propiedades no se puede decir en términos de "que la ecuación no esta, esta variable va allí, etc.".

Es por eso que las barras de chocolate son sabrosos. Teóricamente, todos ellos, finalmente, desaparecer. Get em mientras usted puede.

(2) Sí y no. Usted tiene que hacer un resumen sobre todas las trayectorias clásicas de la mecánica cuántica, pero la respuesta puede ser descrito a menudo más simple, por ejemplo, como en el caso más simple de la teoría de la perturbación, como un diagrama de expansión.

Answer 4

Creo que las preguntas de matemáticas y física aquí son suficientemente diferentes.

No estoy familiarizado con la geometría tropical, pero he buscado y había encontrado introducción muy legible en math.CO/0408099.