Resolver una ecuación con $e^{(x-2)}=e^{4}\cdot e^{\sqrt{x}}$

Question

$$e^{(x-2)}=e^{4}e^\sqrt{x}$$

Sé que $x = 9$ y podemos mostrar los cálculos como éste:

$$e^{(x-2)} = e^{\sqrt{x}+4}$$

y ahora que necesito para obtener el $x$ a la derecha pero no sé cómo.

Answer 1

Sugerencia: Puesto que la función $f(x)=e^x$ es inyectiva (o uno a uno), sabemos que $e^a=e^b \implies a=b$. Por lo que podemos igualar los exponentes para obtener: $ x-2 = \sqrt {x} + 4 $$

Answer 2

Sugerencia: $\log$ Se aplican a ambos lados de la igualdad. Rememeber que $(\forall y\in \Bbb R)\left(\log (e^y)=y)\right)$.

Para resolver una ecuación que parece $ay+b\sqrt y+c=0$, introducir la variable cambio $w=\sqrt y$ a $aw^2+bw+c=0.$

Answer 3

Sugerencias:

$$x-2=\sqrt x+4\stackrel{t:=\sqrt x}\implies t^2-t-6=0\implies (t-3)(t+2)=0\;\ldots$$

Cuenta que debe ser $\,x\ge 0\,$.