¿Cuáles son realmente las unidades? ¿Y por qué es válido ignorarlas (una vez que tenga homogeneidad dimensional), como se hace en clase?

Question

Toda mi vida el enfoque ha sido el siguiente:

En la clase de matemáticas me aprenda las reglas y casi siempre trato puramente numérica de problemas.

En clase de física I aplicar las cosas que ha aprendido en la clase de matemáticas, pero esta vez nuestro cantidades de unidades. Ahora, una vez que la ecuación está bien diseñado y tiene dimensiones de homogeneidad el problema es que por arte de magia se reduce a un hecho puramente numérica del problema como las abordadas en la clase de matemáticas. Se podría decir que las unidades que realmente no se desvanecen, y es en realidad sólo por razones prácticas que los maestros optar por no anotar, pero me gustaría ver una explicación de por qué esto está bien? (Haciendo caso omiso de las unidades).

Por ejemplo, en mi matemáticos de la física de la clase aprendo del cálculo vectorial y análisis vectorial. Primero aprendo forma abstracta en un matemáticamente de forma rigurosa tratando principalmente con los números no se porque se derivan las ecuaciones y teoremas a través de la manipulación de cartas. Ahora, voy a aplicar el mismo teoremas y el mismo razonamiento para los problemas que se dimensionful y esto las lágrimas me aparte por alguna razón desconocida.

Necesito una razón profunda o algo que pueda demostrar que las unidades son no me molesta en absoluto. Me adimensional y dimensiones matemáticas como algo separado, por lo que necesito un buen argumento que me dice que esto no debería ser a mi manera de ver las cosas.

No sé si mi pregunta tiene sentido, así que gracias si has leído hasta aquí.

Answer 1

Podemos pensar de unidades en un sentido formal: se pueden multiplicar y dividir, pero diferentes unidades no puede ser añadido. En cierto modo, esto es como trabajar en un espacio de números reales, donde cada eje representa una potencia de una dimensión, los ejes es cerrado bajo la suma, y que la multiplicación nos envía a un eje diferente (es decir, usted puede hacer metros metros+, pero no metros metros + -cuadrado). Así, en un sentido, se puede formar una base de las unidades fundamentales y sus poderes, en realidad, esto es bastante más de lo que está sucediendo en el Pi de Buckingham teorema! Por supuesto, tenemos una radio sin unidades de base del elemento así.

Sin embargo, no es realmente vale la pena preocuparse. Como ya he dicho, no tenemos que preocuparnos por $\mathbb{C}^5$ si estamos tratando de calcular $22 \times 58$. Así que eso de razones profundas ir, que es casi tan profunda como lo puedo hacer -- los términos de la dimensión y de la unidad se utilizan precisamente por esa razón. Que actúan en ellas nos permite trabajar en una dimensión con una unidad base donde algunos muy conocidos reglas de retención.

Otra analogía: si caminar 5 metros en una sola dirección, se puede caminar 5 metros. Si usted camina a 5 metros en una dirección diferente, caminar 5 metros. Puede ser eventualmente importante saber si usted está caminando hacia el este o el sur, pero para el ámbito de simplemente querer saber cuánto has caminado, no necesitamos siquiera le importa que este o el sur existe!

Answer 2

Considerar el conjunto de $1\times1$ matrices con entradas real. Sabemos cómo agregar estos. $[a]+[b]=[a+b]$. Sabemos cómo multiplicar. [a][b]=[ab]. Podemos hacer la división, resta, exponenciación, etc. Resulta que se comportan igual que los números reales! Parece que la única diferencia es que vamos a poner algunos de los corchetes alrededor de ellos. (Resulta que son isomorfos campos).

Ahora, ¿qué si yo le preguntara a usted para calcular $5+[8]$? La pregunta no tiene sentido. Vas a añadir un número real a una matriz. No hemos definido una manera de hacer eso.

Las unidades son un poco como los soportes en una $1\times1$ matriz; que son los bits de notación que no cambian la lógica subyacente. Y así como no tiene sentido añadir una matriz por un escalar, no tiene sentido intentar agregar $5m+8s$.

Answer 3

Espero que participa (así como contraproducente para disipar su sensación de inquietud) para dar una respuesta general, y es imposible dar una no-polémica de la cuenta. Pero suponiendo que yo he entendido tu pregunta, aquí es una manera de pensar en las cosas:

Hay una matemática de la noción de número real (sistema completo ordenado de campo), cuyas propiedades son independientes de las mediciones o la física (en el sentido de que los matemáticos especificar los axiomas y deducir propiedades; por supuesto, los axiomas mismos están motivados por la física y/o la experiencia).

Hay física nociones (longitud/desplazamiento espacial a lo largo de una dirección particular, área, masa, duración, ...) correspondientes a cantidades mensurables que, en una visión idealizada sentido, se comportan como los números reales, por ejemplo, se pueden agregar/concatenado/aglomerado o comparación; o en condiciones adecuadas puede ser multiplicado, como cuando la multiplicación de dos ortogonal longitudes para obtener un área.

Una selección de unidades para una determinada cantidad de un "mapeo" o "de un solo valor de la asociación" a partir de una noción física (por ejemplo, una longitud) a un matemático (un número real). (Un solo gobernante puede ser tanto $12$ pulgadas y $30.48$ centímetros de longitud.)

Ahora, con el fin de obtener significativas interpretaciones físicas de las fórmulas, las unidades asociadas a los términos tienen que ser elegidos de forma compatible. Después de todo, usted no puede agregar $x$ pulgadas a $y$ centímetros y obtenga $(x + y)$ de cierta longitud de la unidad independiente de $x$ $y$ . (Podríamos estar de acuerdo en que $5$ pulgadas mas $3$ centímetros es $8$ "errores", pero esta "definición" de "error" dependerá de la particular sumandos, no sólo en las unidades particulares; $5$ pulgadas mas $4$ centímetros de no ser $9$ errores.)

Similares consideraciones de la unidad de compatibilidad de mantener siempre que calcular las cantidades físicas, el uso de teoremas matemáticos. Matemática de las operaciones corresponden a operaciones físicas cuando, y sólo cuando, se seleccionan unidades de la compatibilidad.

Answer 4

Usted puede ver las unidades como ser trascendental elementos contigua a la de campo de los números reales. Esta es la razón por la que no se puede añadir dos unidades diferentes en el mundo real, a menos que alguna relación fundamental es conocido. Por ejemplo, si no sabemos que la energía es de alguna manera relacionados con la masa, la distancia y el tiempo, pero podría medir la cantidad de energía cinética de alguna manera, sería totalmente misterioso intento de agregar decir, la energía cinética de un objeto a $mgh$ donde $m$ es su masa, $g$ es la aceleración debida a la gravedad y $h$ es la altura sobre el suelo (por pequeño $h$), pero una vez que averiguar que estos dos son un poco lo mismo hasta algún factor constante, entonces tendrá sentido para ser capaz de agregar juntos. En realidad, lo que hemos definido $\text{J} = \text{kg m$^2$ s$^{-2}$}$ el día de hoy.

Answer 5

Si lo desea, puede considerar a todos los físicos declaraciones a la ser sólo acerca de los números y de las unidades de sólo ser un medio para formular las declaraciones, que no se relacionan con las matemáticas. Por ejemplo, podríamos reformular

Si soldamos un cable de longitud $x$ a un alambre de longitud $y$, el resultado de alambre tiene una longitud de $x+y$. (1A)

de manera que no se utilice ningún aritmética con unidades de la siguiente manera:

Si tenemos un alambre de longitud $x∈ℝ^+$ en referencia a algunas unidades de longitud y otro de alambre de longitud $y∈ℝ^+$ en referencia a la misma unidad de longitud, y soldamos los cables juntos, el resultado de alambre tiene la longitud de $x+y$ en referencia a que la unidad de longitud. (1B)

En otro ejemplo, podríamos reformular:

Si un cable tiene una lenth $x$ a una temperatura de $t$, hay una constante $α$ de manera tal que su longitud a cualquier temperatura,$s$, el cable tiene una longitud de $x·(1+α(s-t))$. (2A)

Un cable tiene una longitud de $x∈ℝ^+$ en referencia a alguna unidad de longitud a una temperatura $t∈ℝ^+$ en referencia a algunos de la unidad de temperatura. Entonces existe un $α∈ℝ$ (que depende de la longitud de la unidad y de la unidad de temperatura, pero no en $x$, $s$ o $t$) tales que a cualquier temperatura, $s∈ℝ^+$ en referencia a la citada unidad de temperatura, el alambre tiene una longitud de $x·(1+α(s-t))$ en referencia a la anterior. (2B)

Por supuesto, el anterior solo funciona para un uso razonable de las definiciones de "un cable tiene una longitud de $x∈ℝ^+$ en referencia a alguna unidad de longitud" y similares, que cumple con la aritmética de los números reales. Por ejemplo, necesitamos:

Si la longitud $L$ $x∈ℝ^+$ en referencia a alguna unidad de longitud $A$ $y∈ℝ^+$ en referencia a alguna unidad de longitud $B$, entonces la longitud de la $A$ $x/y$ en referencia a la longitud de la unidad $B$.

Sin esto, la declaración 1B no sería una verdad universal para todas las longitudes.

Que tales definiciones existen, es una muy bien establecida hechos empíricos, pero nada más. (Históricamente, es claro que los números reales eran abstracciones de las propiedades aritméticas de los valores físicos y uno podría tomar el punto de vista de que las matemáticas se justifica por el bien establecida y la observación empírica de que los axiomas de algunos prominentes estructuras algebraicas cumplir con la realidad.)

Haciendo uso de esta observación, se puede introducir una aritmética de los valores físicos (es decir, números reales, equipado con una unidad) y, mediante el equipamiento de constantes como $α$ en 2B a las unidades apropiadas, podemos llegar a la formulación habitual de la física que utiliza estas aritmética como una anotación de acceso directo, si así lo desea.

Si tenemos además, solo el uso de unidades que se expresan en términos de algunos algebraicamente independiente de las unidades de base (tales como el SI de unidades de base), ahora podemos omitir la escritura de las unidades y se puede deducir de la unidad de nuestros resultados de su dimensión. E. g., si nos adherimos estrictamente a la obra en el sistema SI, sabemos que la velocidad de la unidad de $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ (ya que esta es la única unidad de velocidades en este sistema). Este es prominentemente hecho en física de alta energía, donde generalmente $\hbar$, $c$ y $\text{MeV}$ se utilizan como unidades de base y $\hbar$ $c$ se omiten (que por lo general se escribe como la cringeworthy $\hbar=c=1$).