Encontrar una operación binaria $\ast$ $\mathbb{Q}$ tal que $f:(\mathbb{Q},+) \to (\mathbb{Q},\ast)$ es un isomorfismo.

Question

Deje $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ ser definido por $f(x) = 3x - 1$.

(a) Encontrar una operación binaria $\ast$ $\mathbb{Q}$ tal que $f:(\mathbb{Q},+) \to (\mathbb{Q},\ast)$ es un isomorfismo.

Aquí está mi trabajo. Es correcto?

Desde $f(x)$ es bijective, sólo tenemos que encontrar a una operación binaria $\ast$ tal que $f: (\mathbb{Q},+) \to (\mathbb{Q},\ast)$ es un homomorphism.

Definir $\ast:\mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$$(a,b) \mapsto a + b + 1$. Entonces $$ \begin{align} f(a + b) = 3(a+b)-1 &= 3a + 3b - 1 \\&=3a + 3b -2 + 1\\&=(3a-1)+(3b-1) + 1\\&=(3a-1) \ast (3b -1)\\&=f(a) \ast f(b). \end{align}$$ Since $f: (\mathbb{Q},+) \(\mathbb{Q},\ast)$ satisfies $f(a + b) = f(a) \ast f(b)$ for all $a,b \in \mathbb{Q}$ we have $(\mathbb{Q},+) \cong (\mathbb{Q},\ast)$ on $\ast$.

(b) Encuentre una operación binaria $\ast$ tal que $f:(\mathbb{Q},\ast) \to (\mathbb{Q},+)$ es un isomorfismo.

Definir $\ast$$(a,b) \mapsto a + b - \frac{1}{3}$. Entonces $$\begin{align} f(a \ast b) = 3(a + b - \frac{1}{3}) - 1 &= 3a + 3b - 2 \\&= (3a - 1) + (3b - 1) \\&=f(a)+f(b). \end{align}$$ Since for $f:(\mathbb{Q},\ast) \(\mathbb{Q},+)$ we have $f(a \ast b) = f(a) + f(b)$ for all $a,b \in \mathbb{Q}$ it follows that $(\mathbb{Q}, \ast) \cong (\mathbb{Q},+)$ on $\ast$.

Answer 1

Como Meelo dice, la prueba está involucrado, pero correcto. Sin embargo, todo se reduce a la siguiente declaración general.

En su caso, $f(x)=3x-1$ es un bijection y usted no necesita realmente se utilicen. La nueva operación se obtiene haciendo el original en el preimages de los elementos y, a continuación, volver con el mapa de $f$.

Teorema. Deje $X$ ser un conjunto y deje $\cdot$ ser una operación en $X$. Si $f\colon X\to X$ es un bijection, definir una nueva operación $*$ $X$ por $$ a*b=f(f^{-1}(a)\cdot f^{-1}(b)) $$ para todos los $a,b\in X$. A continuación, $f$ es un isomorfismo entre el$(X,\cdot)$$(X,*)$.

Prueba. Deje $x,y\in X$; entonces, por definición, $$ f(x)*f(y)=f\bigl(f^{-1}(f(x))\cdot f^{-1}(f(x))\bigr)=f(x\cdot y) \qquad\text{QED} $$

Motivación. Básicamente, usted necesita $f(x\cdot y)=f(x)*f(y)$; set$a=f(x)$$b=f(y)$, por lo que el$x=f^{-1}(a)$$y=f^{-1}(b)$; a continuación, $$ a*b=f(x\cdot y)=f(f^{-1}(a)\cdot f^{-1}(b)). $$ Podemos observar que a lo $a$ $b$ son arbitrarias elementos de $X$, debido a $f$ es bijective.

Para la operación $*$ tal que $f$ es un isomorfismo de $(X,*)$ a $(X,\cdot)$, desea que $$ f(x*y)=f(x)\cdot f(y) $$ así que la idea es definir $$ x*y=f^{-1}(f(x)\cdot f(y)). $$

Answer 2

Me encontré con sus pruebas un poco difícil de seguir, a pesar de que está sin duda en lo cierto; si usted acaba de quitar donde se replantea la definición de un homomorphism y, además, sería mucho más legible - a pesar de que el proceso podría haber hecho que la primera, es generalmente útil para el lector, si usted saltar a la derecha en la visión.

Sin embargo, si usted realmente quería hacer las pruebas a las que se ven bien, usted podría frase de una manera que pone en claro por qué esas son las respuestas; no sé cómo se encuentran esas funciones, pero el argumento me gustaría utilizar (que podría ser lo que usted hizo es demasiado) sería:

Un homomorphism debe tomar el elemento de identidad para el elemento de identidad. La identidad de la operación $a*b=a+b-c$ $c$ $f$ es de $0$$-1$, lo $-1$ es la identidad de $*$, es decir, la única posible el funcionamiento de esa forma es $a*b=a+b+1$.

Y, a continuación, puede proceder a demostrar que este es un homomorphism por el método anterior. - Sus pruebas sin duda el trabajo en el nivel básico de "convencer de una manera formal", pero es bueno para empujar hacia "ofrecer información sobre una solución del problema."

Answer 3

Se ve bien para mí. ¿Hay algo de?