¿Derivada de un vector con respecto a un escalar?

Question

Tengo una función $f=w\begin{bmatrix} a \\b\\c \end{bmatrix}$ . Entonces, ¿cuál es el $\frac{\partial f}{\partial w}$ ? Nunca he visto esto. Gracias.

Answer 1

Su $f$ ¡es sólo un mapa lineal! Su derivada es la función constante $$f' : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3, \; \; x \mapsto \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}.$$

En general, si tiene $f$ dado como una función $f = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix}$ donde $f_1, f_2, f_3 : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ son diferenciables, entonces la derivada de $f$ será $\begin{pmatrix} f_1' \\ f_2' \\ f_3' \end{pmatrix}.$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\vec{f} = \begin{bmatrix} aw \\bw\\cw \end{bmatrix}$ .

Ahora, diferenciar cada componente del vector con respecto a $w$ . Es decir: $$\frac{\partial\vec{f}}{\partial w} = \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial w}aw \\\frac{\partial}{\partial w}bw\\\frac{\partial}{\partial w}cw \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\b\\c \end{bmatrix}$$

Esto supone $a, b, c$ podrían ser constantes o funciones (pero no de $w$ ).

Answer 3

Las derivadas parciales son direccionales ( Gâteaux ), en otras palabras, ya que $w \in \mathbb{R}$ , $$ \frac{\partial f_w}{\partial w} = \lim_{h \in \mathbb{R}, h\to 0} \frac{f_{w+h}-f_w}{h} $$

Por lo tanto, $$ \begin{aligned} \frac{\partial f_w}{\partial w} & = \lim_{h \to 0} \;\frac{1}{h}(w + h - w)\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Así es como funciona, pero usando teoremas relevantes como hizo @Cocopuffs obviamente te dará la respuesta mucho más rápido.