Como aficionado que juega con el Conjetura de Collatz En la actualidad, me he topado con algo que no había visto mencionar antes, y que puede o no ser digno de mención.
Sugerido por Gottfried Helms, he aquí una versión más inteligible de mi descubrimiento:
Dejemos que $s(n)$ denotan el tiempo total de parada de $n$ bajo el mapa original de Collatz, y considerar la iteración $n_{k+1}=s(n_k)$ .
Me he dado cuenta de que la secuencia de $n_0,n_1,n_2,...$ parece converger a $1$ para todos $n_0>1$ - es decir, La aplicación repetida de $s$ siempre dará lugar a $1$ finalmente .
Al menos este fue el caso de cada $n$ Lo he intentado. Los ejemplos incluyen $42 \to 8 \to 3 \to 7 \to 16 \to 4 \to 2 \to 1$ y $9 \to 19 \to 20 \to 7 \to 16 \to 4 \to 2 \to 1$ .
Lo que me gustaría saber es esto:
- ¿Se puede demostrar que esta propiedad se mantiene, o no, para todos los $n>1$ ?
- ¿Ocurre lo mismo con otros mapeos de la "familia" Collatz? De forma más general y vaga, ¿es esto algo interesante?
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Acabo de borrar mi respuesta porque no hace más que replantear tu pregunta. Sin embargo, para que el enfoque de su pregunta sea un poco más obvio, podría ser útil introducir el conocido término "tiempo total de parada" en su texto, y formular algo como: a) suponer $s(n_0)$ siendo el "tiempo total de parada" para $n_0$ bajo el mapa de Collatz original y considerar la iteración $n_{k+1} = s(n_k)$ . b) ¿Es cierta mi conjetura de que la secuencia de $n_0,n_1,n_2,...$ converge a $1$ para todos $n_0 \gt 1$ ? (O alguna otra formulación de su conjetura con este espíritu)
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Heurísticamente, esto no es también sorprendente (siempre que se mantenga para todos los valores pequeños); $s$ probablemente actúa un poco como un logaritmo (aunque con menos fuerza) - pero una prueba de la conjetura de Collatz podría muy probablemente venir con una prueba de, para algunos $n$ "Para todos $x>n$ tenemos $s(x)<x$ " que, junto con ver que todos $x\leq n$ convergen a $1$ bastaría para demostrar esta afirmación.