¿Hay situaciones fuera de la teoría de conjuntos en las que sería útil que $\mathrm{ICF}$ ¿fueron ciertas?

Question

Escriba $\mathrm{ICF}$ para la "hipótesis de la función continua inyectiva", es decir, la frase de ZFC que expresa que

$$2^X \cong 2^Y \rightarrow X \cong Y$$

para todos los conjuntos $X$ y $Y$ , donde $\cong$ denota equipotencia.

Si lo he entendido bien:

1. $\mathrm{ICF}$ es independiente de $\mathrm{ZFC}$ .
2. $\mathrm{GCH}$ implica $\mathrm{ICF}.$ (En presencia del $\mathrm{ZFC}$ axiomas).
3. Lo contrario de 2 es falso.

Pregunta. ¿Existen situaciones fuera de la teoría de conjuntos (por ejemplo, teoría de grupos, teoría de la medida, etc.) en las que sería útil que $\mathrm{ICF}$ fueran ciertas, independientemente de que $\mathrm{GCH}$ ¿es cierto?

Answer 1

En la teoría de los matroides infinitos se puede hablar de una base de un matroide. Higgs demostró que $\sf GCH$ implica que si $\cal M$ es un matroide en un conjunto $E$ entonces cada dos bases de $\cal M$ tienen la misma cardinalidad.

Sin embargo, un examen minucioso de la prueba muestra que en realidad necesitamos dos hechos que se desprenden de $\sf GCH$ (pero no lo implique, ni siquiera en conjunto):

1. $\sf ICF$ y
2. Para todo conjunto infinito $X$ existe una cadena de subconjuntos de tamaño $2^{|X|}$ en $\mathcal P(X)$ .

No estoy 100% seguro de si lo segundo está o no implícito en lo primero, y me inclino a creer que la respuesta es negativa. Pero este es un ejemplo de algún lugar que $\sf ICF$ aparece explícitamente en la prueba.

Para más información: Stefan Geschke - Una invitación a los matroides infinitos (diapositivas)

Answer 2

Esto responde a dos preguntas del usuario18921 formuladas en los comentarios a la respuesta de Asaf.

a) La razón por la que GCH da cadenas largas en $\mathcal P(X)$ es la siguiente: Para un cardinal infinito $\kappa$ dejar $L=\{0,1\}^\kappa$ y que $B$ sea el conjunto de todas las secuencias en $\{0,1\}^\kappa$ que finalmente son 0 (o constantes, no importa). El tamaño de $B$ es $\sup\{2^\lambda:\lambda<\kappa\}$ .
$L$ está ordenado linealmente por la ordenación lexicográfica y $B$ es denso en $L$ . Asumiendo GCH tenemos $2^\lambda\leq\kappa$ para todos $\lambda<\kappa$ (esto es todo lo que necesitamos de GCH). Por lo tanto, $|B|=\kappa$ . Sea $X=B$ . Ahora la familia de conjuntos $\{x\in B:x<y\}$ , $y\in L$ es una cadena en $\mathcal P(X)$ de tamaño $2^{|X|}$ .

b) (2) es equivalente a (2'). Una mitad de esto ya está oculta en mi respuesta a): Si hay un orden lineal infinito de tamaño $|X|$ cuya terminación es de tamaño $2^{|X|}$ entonces $\mathcal P(X)$ tiene una cadena de longitud $2^{|X|}$ .

Por otro lado, supongamos que $\mathcal P(X)$ tiene una cadena $\mathcal C$ de longitud $2^{|X|}$ . Podemos suponer que $\mathcal C$ es cerrado bajo infinitas intersecciones y que contiene $X$ . Ahora, para cada $x\in X$ considerar la primera $A\in\mathcal C$ con $x\in A$ y llamarlo $A_x$ . Por nuestras suposiciones sobre $\mathcal C$ , $A_x$ existe para todos los $x\in X$ . Es sólo la intersección de todos los $A\in\mathcal C$ con $x\in A$ .

Ahora $\mathcal A=\{A_x:x\in X\}$ es un subconjunto denso del conjunto linealmente ordenado $\mathcal C$ ( $\mathcal C$ está ordenado por $\subseteq$ Por supuesto). $\mathcal A$ es un orden lineal de tamaño $|X|$ con una terminación de tamaño $2^{|X|}$ .

La equivalencia de (2) y (2') fue observada independientemente por Baumgartner y Mitchell, si no recuerdo mal.