Esto responde a dos preguntas del usuario18921 formuladas en los comentarios a la respuesta de Asaf.
a) La razón por la que GCH da cadenas largas en $\mathcal P(X)$ es la siguiente: Para un cardinal infinito $\kappa$ dejar $L=\{0,1\}^\kappa$ y que $B$ sea el conjunto de todas las secuencias en $\{0,1\}^\kappa$ que finalmente son 0 (o constantes, no importa). El tamaño de $B$ es $\sup\{2^\lambda:\lambda<\kappa\}$ .
$L$ está ordenado linealmente por la ordenación lexicográfica y $B$ es denso en $L$ . Asumiendo GCH tenemos $2^\lambda\leq\kappa$ para todos $\lambda<\kappa$ (esto es todo lo que necesitamos de GCH). Por lo tanto, $|B|=\kappa$ . Sea $X=B$ . Ahora la familia de conjuntos $\{x\in B:x<y\}$ , $y\in L$ es una cadena en $\mathcal P(X)$ de tamaño $2^{|X|}$ .
b) (2) es equivalente a (2'). Una mitad de esto ya está oculta en mi respuesta a): Si hay un orden lineal infinito de tamaño $|X|$ cuya terminación es de tamaño $2^{|X|}$ entonces $\mathcal P(X)$ tiene una cadena de longitud $2^{|X|}$ .
Por otro lado, supongamos que $\mathcal P(X)$ tiene una cadena $\mathcal C$ de longitud $2^{|X|}$ . Podemos suponer que $\mathcal C$ es cerrado bajo infinitas intersecciones y que contiene $X$ . Ahora, para cada $x\in X$ considerar la primera $A\in\mathcal C$ con $x\in A$ y llamarlo $A_x$ . Por nuestras suposiciones sobre $\mathcal C$ , $A_x$ existe para todos los $x\in X$ . Es sólo la intersección de todos los $A\in\mathcal C$ con $x\in A$ .
Ahora $\mathcal A=\{A_x:x\in X\}$ es un subconjunto denso del conjunto linealmente ordenado $\mathcal C$ ( $\mathcal C$ está ordenado por $\subseteq$ Por supuesto). $\mathcal A$ es un orden lineal de tamaño $|X|$ con una terminación de tamaño $2^{|X|}$ .
La equivalencia de (2) y (2') fue observada independientemente por Baumgartner y Mitchell, si no recuerdo mal.
