¿Cómo podemos hacer esta integración rigurosa?

Question

Esto es de Jaynes, la Teoría de la Probabilidad: La Lógica de la Ciencia, pp 27-28.

Tenemos una función de $F$$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, y nos pusimos $v = F(y,z)$. Descubrimos que

$$ F_1(y,z) = { \partial F \over \partial y } = { H(v) \sobre H(y) } \\ F_2(y,z) = { \partial F \over \partial z } = r{ H(v) \sobre H(z) } $$

donde $H$ es arbitrario, pero no puede cambiar de signo en la región de interés. (Específicamente, $H$ es tal que $F_2(y,z) / F_1(y,z)$ toma la forma $r H(y) / H(z) $.)

Más tarde descubrir $r = 1$, así que me voy a ignorar que para mayor claridad. Entonces, desde el $\mathrm d v = F_1 \mathrm d y + F_2 \mathrm d z $, obtenemos

$$ { \mathrm d v \over H(v) } = { \mathrm d y \over H(y) } + { \mathrm d z \over H(z) } $$

Tan lejos, tan bueno. Ahora vamos a definir los

$$ w(x) = \exp\left( \int^x { \mathrm d x \over H(x) } \right) $$

y de ello se sigue que $w(v) = w(y) w(z)$.

Me puede un poco sorta ver cómo sucede esto, pero en realidad no. Al parecer,

$$ \int { \mathrm d v \over H(v) } = \int \left( { \mathrm d y \over H(y) } + { \mathrm d z \over H(z) } \right) = \int { \mathrm d y \over H(y) } + \int{ \mathrm d z \over H(z) } $$

Y entonces sólo se aplican $e^{a+b} = e^a e^b$. Esto tiene algún sentido notationally, pero no estoy familiarizado con el rigor detrás de él. (Me he quitado la ${}^x$ de las integrales porque yo realmente no sé lo que haría con ella. Jaynes créditos de esta prueba a Cox (1961), que me miró - no incluyen cualquier medida intermedia para que me ayude, pero también omite el ${}^x$, así que me siento algo cómodo hacerlo yo mismo).

Creo que hay un par de cosas concretas que me confunde, donde la notación al no significa que lo que me espera:

• Espero que expresiones como $\int^x f(s) \mathrm d s$ a ser una función de la $x$ donde $s$ es una variable ligada, y podemos reescribir $s$ $p$ o $\alpha$ o nada, y la reescritura de $s$ $x$ es sólo de los más confusos de la elección que podemos hacer. En este caso, parece que el símbolo que se utiliza dentro de la integración es relevante?

• $w$ se ve como una función de $\mathbb R \rightarrow \mathbb R $, pero $w(v)$ depende de $\mathrm d v$$v$?

¿Alguien puede aclarar esto para mí?

Answer 1

Así, dispone de un campo escalar $F$ tal que

$$\nabla F = [e_1/H(y) + e_2/H(z)] [H \circ F](y,z)$$

Usted puede, por supuesto, reorganizar esto para leer

$$\frac{\nabla F|_{y,z}}{(H \circ F)(y,z)} = \frac{e_1}{H(y)} + \frac{e_2}{H(z)}$$

Ahora se integran en algunos curva de $\ell(t) = \ell^y(t) e_1 + \ell^z(t) e_2$:

$$\int \left( \frac{e_1}{H \circ \ell^y} + \frac{e_2}{H \circ \ell^z} \right) \cdot \ell' \, dt = \int \frac{\nabla F|_\ell}{H \circ F \circ \ell} \cdot \ell' dt$$

Ahora, definir

$$w(x;\lambda)=\exp \int^x \frac{\lambda'(t)}{(H \circ \lambda)(t)} \, dt$$

donde $\lambda$ es alguna función. Debe quedar claro que exponentiating la LHS, sólo da

$$\exp \left[\int^x \frac{(\ell^y)'}{H \circ \ell^y} \, dt + \int^x \frac{(\ell^z)'}{H \circ \ell^z} \, dt \right] = w(x; \ell^y)w(x; \ell^z)$$

El lado derecho es un poco más complicado. Usted necesita darse cuenta de que

$$\frac{d}{dt} (F \circ \ell)(t) = \ell' \cdot \nabla F|_{\ell(t)}$$

Así que la CARTA puede ser escrito en términos de la función $G(t) = (F \circ \ell)(t)$

$$\int^x \frac{\ell'(t) \cdot \nabla F|_{\ell(t)}}{H \circ F \circ \ell} \, dt= \int^x \frac{G'(t)}{(H \circ G)(t)} \, dt$$

Así exponentiating, tenemos

$$w(x; F \circ \ell) = w(x; \ell^y) w(x; \ell^z)$$

Ahora, la mayoría de la gente llamaría $y = \ell^y$$z = \ell^z$; este es un trivial elección de la parametrización. La mayoría de la gente no se moleste en escribir $F \circ \ell$ y acaba de escribir $v$ según los autores. Así que la carta de la prueba se tiene: que $w(x;v) = w(x;y) w(x;z)$. Creo que escribir con un argumento en lugar de dos (como hice yo) es mucho menos clara. Utilizando la misma variable para un límite de integración como la variable ficticia es un gran no-no, pero algunas personas lo hacen cuando el cambio de nombre sería menos clara.

Creo que, al menos, $w$ debe ser una función de dos argumentos: un número $x$ y una función de $\lambda: \mathbb R \mapsto \mathbb R$.