Problemas de maximización - Uso de la función implícita para evitar KKT

Question

Me pregunto si el siguiente procedimiento para resolver un problema de maximización en -digamos- dos variables con desigualdad y restricciones no negativas funciona.

Más concretamente, supongamos algo como el siguiente ejemplo concreto:
$\text{max } F(x,y)=x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{1}{3}}$
$\text{sub } G(x,y)=x^2 + y^2 \leq 2 \hspace{0.5cm}\text{and } x,y\geq 0$

Pensé que, en lugar de utilizar las condiciones de Kuhn-Tucker, que me llevarían a una verdadera pesadilla, sería mejor optar por los siguientes pasos:

1. Me doy cuenta de que la función objetivo es creciente en $\mathbb{R}^3_{+}$ .
2. Por esta razón, la restricción tiene que funcionar como una restricción de igualdad y es vinculante.
3. Tomo la función implícita de $F(x,y)$ de $y$ en términos de $x$ y lo pongo igual, para la restricción de desigualdad.
4. Creo un sistema con la ecuación anterior y la restricción de desigualdad expresada como una restricción de igualdad.
5. Me centro en el valor positivo de $x$ y $y$ y eso es todo.

¿Le parece razonable?
Cualquier comentario es bienvenido.

Answer 1

Esto suena razonable. La justificación precisa de su paso 1 podría ser la siguiente: Supongamos que $(x,y)$ es un minimizador (factible) de $F$ . Obviamente, $F(x,y) > 0$ .

Supongamos que $r^2 := x^2 + y^2 < 2$ . Entonces, toma $(\sqrt2 \, x/r,\sqrt 2\,y/r)$ . Obviamente, este punto sigue siendo factible y $F(\sqrt 2 \, x/r,\sqrt 2\,y/r) = F(x,y) \, \sqrt 2/r > F(x,y)$ . Contradicción.

Por lo tanto, $x^2 + y^2 = 2$ se mantiene para el minimizador.

Answer 2

Sus suposiciones de (1) y (2) son correctas y entonces puede utilizar una manera más formal. Para maximizar $F(x,y)$ el primer diferencial debe ser cero $$dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=\frac 23 \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}dx+\frac 13 \frac{x^{2/3}}{y^{2/3}}dy=0$$ Debido a las restricciones $dx$ y $dy$ están relacionados de una manera que $x$ y $y$ debe estar siempre en la curva $G(x,y)=2$ . Para encontrar la relación utilizamos la primera diferencial $$dG=\frac{\partial G}{\partial x}dx+\frac{\partial G}{\partial y}dy=2x\,dx+2y\,dy=0\Rightarrow dy=-\frac xy dx$$ Ahora podemos utilizar esta relación para eliminar $dy$ en $dF$ $$dF=\frac 23 \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}dx-\frac 13 \frac{x^{2/3}}{y^{2/3}}\frac xy dx=0$$ $$dF=\bigg(\frac 23 \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}-\frac 13 \frac{x^{2/3}}{y^{2/3}}\frac xy\bigg) dx=0$$ La ecuación anterior puede satisfacerse para cualquier $dx$ (o en cualquier dirección) si $$\frac 23 \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}-\frac 13 \frac{x^{2/3}}{y^{2/3}}\frac xy=0$$ $$2 \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}=\frac{x^{5/3}}{y^{5/3}}$$ $$2 y^2=x^2\Rightarrow y=\frac x{\sqrt 2}$$ Ahora satisfacemos ese objetivo $F(x,y)$ se maximiza a lo largo de la curva $G(x,y)$ . Necesitamos satisfacer una condición más que $G(x,y)=2$ utilizando la relación entre $y$ y $x$ $$x^2+y^2=x^2+\frac{x^2}2=2\Rightarrow x=\frac 2{\sqrt 3}$$ y $$y=\frac x{\sqrt 2}=\frac {\sqrt 2}{\sqrt 3}$$ Así que no has utilizado los multiplicadores de Lagrange ni el KKT.