Cada acotado medible Jordan conjunto se han porosa frontera?

Question

Deje $A\subset \mathbb{R}^n$ ser un acotado medible Jordan conjunto. Me pregunto si su límite de $\partial A$ es necesariamente poroso.

Sé que $\partial A$ tiene medida de Lebesgue cero. También creo que uno puede construir un ejemplo de Lebesgue nula establece que no es porosa. Pero, ¿es posible construir un conjunto de una manera que es también la frontera de Jordania medibles?

Answer 1

La respuesta es negativa. Vamos a considerar un Cantor de tipo set $K\subset [0,1]$ construido por la eliminación de la $c_j$ proporción de cada intervalo en el $j$th paso ($c_j<1$, $j=1,2,\dots$). Es un conjunto compacto con vacío interior, por lo $\partial K=K$. La medida de $K$ es cero siempre que $$ \prod_{j=1}^\infty (1-c_j)=0 $$ Por lo tanto, $K$ es medible Jordan en este caso.

Por otro lado, si $c_j\to 0$, $K$ no es porosa en $\mathbb{R}$: los vacíos se vuelven relativamente pequeño en escalas más pequeñas.

Por ejemplo, $c_j=1/(j+1)$ satisface las dos propiedades: cero de la medida y no de la porosidad.

Para obtener un ejemplo en $\mathbb{R}^n$, tomar el producto Cartesiano.