Determinar la limitación de la distribución Uniforme de la Orden de Estadística

Question

Tengo una muestra aleatoria de tamaño $n$ a partir de una distribución uniforme

$$U(0, \theta)$$

Y he comprobado que el pdf de $Y_n$, el n-ésimo orden de estadística de la muestra es:

$$f_{Y_n}(y) = \frac{n}{\theta^n} y^{n-1} \quad \quad, 0<y<\theta ,$$ $$f_{Y_n}(y) = 0 \quad \quad \quad \quad\text{en otros lugares}$$

Ahora, lo que estoy tratando de hacer el siguiente es el cálculo de la limitación de la distribución de $Y_n$, y no estoy seguro de cómo hacerlo.

Se supone que tengo que calcular el límite de la pdf $n \rightarrow \infty$ ? o el cdf?

Cualquier ayuda con respecto a los pasos que debo hacer, se agradece!

Answer 1

Si usted mira la cdf de $Y_n$, $$F_n(\delta)=\mathbb{P}(Y_n\le\delta)=(\delta/\theta)^n\qquad0\le\delta\le\theta\,,$$ you get that $F_n(\delta)$ converges to zero when $0\le\delta<\theta$, which means that $Y_n$ converges in probability to $\theta$: $$Y_n\stackrel{\text{prob}}{\longrightarrow} \theta\,.$$ This implies that $Y_n$ also converges in distribution to the constant value random variable $\theta$: $$Y_n\stackrel{\text{dist}}{\longrightarrow} \theta\,.$$ To get a more precise description of the asymptotic behaviour of $Y_n$, you need to zoom around $\theta$, i.e., to consider $(\theta-Y_n)$ scaled by a power of $n$, $n^\alpha$, so that, while $(\theta-Y_n)$ converges to zero in distribution and $n^\alpha$ goes to infinity, the product $$n^\alpha(\theta-Y_n)$$ converge a una distribución estándar (en distribución).

Este es, por ejemplo, en el caso del teorema Central del Límite: si la media de $X$ está bien definido, $\bar{X}_n-\mathbb{E}[X]$ converge a cero en la distribución, mientras que $$\sqrt{n}(\bar{X}_n-\mathbb{E}[X])=n^{1/2}(\bar{X}_n-\mathbb{E}[X])$$ converge a una distribución Normal (distribución).

Para responder a su pregunta, por lo tanto tiene que encontrar la escala de la derecha $n^\alpha$ (sólo hay uno!) y luego deducir de los asociados a la limitación de la distribución. Sugerencia: Recuerde que $$\lim_{n\to\infty} \left\{1-\frac{\beta}{n} \right\}^n = \exp\{-\beta\}\,.$$

Answer 2

Según lo sugerido por Xi'an, el trabajo con el CDF $$F_n(t) = \Pr(Y_n\leq t)=\bigcap_{i=1}^n \Pr(X_i\leq t) = \prod_{i=1}^n \Pr(X_1,\leq t) \, .$$ Por lo tanto, $$F_n(t) = \begin{cases} 0 &,& t<0\,; \\ \left(t/\theta\right)^n &,& 0\leq t<\theta\,; \\ 1 &,& t\geq\theta \, . \end{casos}$$ Trace una gráfica de esta $F_n$.

Para $t<0$ $t\geq\theta$ estás hecho. Ahora, ¿qué es $\lim_{n\to\infty}F_n(t)$$0\leq t<\theta$?

Poner todo junto para encontrar $F(t)$ tal que $F_n(t)\to F(t)$ por cada $t$ al $n\to\infty$.

Gráfico de esta $F$. ¿Cuál es la interpretación de $F$?

Este resultado intuitivo? Imagínate a ti mismo dibujo enormes muestras de una $U[0,\theta]$ distribución y el cálculo de la muestra máxima de cada momento.

Puede que el código de una pequeña simulación en R lo que confirma los resultados?