Encontrar $\sqrt{8+6i}$ en forma de $a+bi$

Question

Necesito ayuda con el cambio de $\sqrt{8+6i}$ en el número complejo de la forma de estándar. Conozco los conceptos básicos de número complejo como el valor de $i$$i^2$, la igualdad de número complejo conjugado y la racionalización de método. Este es mi primer encuentro con dicho término y sólo ha pasado una semana desde que aprender acerca de número complejo. Me gustaría apreciar una explicación detallada o simplemente un cálculo sería suficiente

Editar - Gracias chicos, he encontrado tanto en contestar. Y acerca de los métodos que no estoy familiarizado con, probablemente va a tener sentido para mí después de las próximas clases. Voy a hacer asegúrese de volver aquí y estudio de los mismos. Gracias de nuevo! Ustedes son geniales :D

Answer 1

Elaborar un poco sobre el Dr. MV del enfoque alternativo:

Tenemos

$$8+6i = (a+bi)^2 = (a^2-b^2)+2abi$$

donde $a$ $b$ son ambos reales. Por lo tanto,

$$a^2-b^2 = 8$$

y

$$2ab = 6$$

De la segunda ecuación, podemos escribir $ab = 3$, y por lo tanto

$$b = \frac{3}{a}$$

Si sustituimos esto en la primera ecuación, obtenemos

$$a^2 - \frac{9}{a^2} = 8$$

o, después de multiplicar ambos lados por $a^2$ y dejando $u = a^2$, tenemos

$$u^2-8-9 = 0$$

que es una simple ecuación de segundo grado que puede ser resuelto usando la fórmula cuadrática, o por simple factoring en $(u+1)(u-9) = 0$. Recuerde, sin embargo, que como $u = a^2$, no puede ser negativa, por lo que debemos descartar la solución de $u = -1$, dejando $u = a^2 = 9$ o $a = \pm 3$. Que deja a $b = \pm 1$ (es decir, es negativo siempre que $a$ es negativo, positivo y siempre $a$ es positivo).

ETA: Fija el signo de $b$. No sé lo que estaba pensando.

Answer 2

METODOLOGÍA de $1$: el Uso de Coordenadas Polares de Conversión

En ESTA RESPUESTA, he utilizado conversión de coordenadas polares para demostrar que la raíz cuadrada de un número complejo puede ser expresado en forma rectangular por

$$\begin{align} \sqrt{x+iy}=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}\pm i\,\text{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}\tag 1 \end{align}$$

Simplemente use$x=8$$y=6$$(1)$, para llegar a

$$\sqrt{8+i6}=\pm (3+i)$$

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METODOLOGÍA de $2$: Uso Estrictamente Coordenadas Rectangulares

Como una alternativa de desarrollo, que denotan $a+ib=\sqrt{x+iy}$. Al elevarlo al cuadrado, nos encontramos con que

$$a^2-b^2=x \tag 2$$

y

$$2ab=y \tag 3$$

La solución de $(2)$ $(3)$ simultáneamente, nos encontramos con

$$\begin{align} a&=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}\\\\ b&=\pm \text{sgn}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}} \end{align}$$

de acuerdo con $(1)$

Answer 3

Intente $3+i$ (Plaza de cabo utilizando papel de aluminio y $i^2=-1$). Nota: $-3-i$ también funciona.

Answer 4

Sugerencias: $$8+6i = 10 \exp\left(i\arctan\frac{3}{4}\right)\tag{1}$$ $$\arctan(x)=2\arctan y\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{2y}{1-y^2} \tag{2}$$ y $(x,y)=\left(\frac{3}{4},-3\right)$ es una solución de $(2)$.

Answer 5

¿conoces el teorema de DeMoivre?

Si $z$ es un número complejo en forma polar $z = \rho (\cos \theta + i \sin \theta)$ $z^n = \rho^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$

En este caso: $\rho = 10\\ \theta = \cos^{-1}\frac 45\\ n=\frac12\\ z = 10(\cos \cos^{-1} \frac 45 + i \sin \cos^{-1} \frac45)$

$\sqrt {z} = z^\frac12 = \sqrt{10}(\cos \frac12\cos^{-1} \frac 45 + i \sin \frac12\cos^{-1} \frac45)$

$\cos \frac12\cos^{-1} \frac 45 = \sqrt{\frac{1+0.8}{2}} = \sqrt{0.9} =\sqrt{\frac 9{10}} \\ \sin \frac12\cos^{-1} \frac 45 = \sqrt{\frac{1-0.8}{2}} = \sqrt{0.1} = \sqrt{\frac1{10}}$

$\sqrt {z} =$$\sqrt{10}(\sqrt{\frac 9{10}} + \sqrt{\frac 1{10}})\\ 3 + i$