¿Para los campos que es $\left\{\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \,\middle |\, a, b \in F\right\} \subset M_2(F)$ un campo?

Question

Considere la posibilidad de $R$ el conjunto de matrices de la forma $$A = \left(\begin{array}{rr}a& -b \\b& a\end{array}\right),$$ where $un$ and $b$ live in a given field $F$.

Sé $R$ es un anillo conmutativo con la matriz de identidad y ahora queremos determinar por cual de $F = \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_5, \mathbb{F}_7$ $R$ un campo? También cómo, en general, para caracterizar los tipos de campos, incluidos los que prime campos de $\mathbb{F}_p$ que hará $R$ un campo?

Answer 1

La matriz $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ es invertible si su determinante, $\delta = a^2 + b^2$ es distinto de cero. En este caso, su inversa es $\delta^{-1} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$, que todavía vive en su conjunto.

Así, su pregunta es equivalente a: campos que hace la forma cuadrática $\delta(x,y) = x^2 + y^2$ admite sólo un cero, es decir,$(0,0)$? En el más elegante de los términos, para que el campo es de la forma $x^2 + y^2$ anisotrópico?

La respuesta es que es para $\mathbb Q$, $\mathbb R$ (obvio, para firmar razones) y $\mathbb F_7$ (la única cuadrados módulo $7$ $0$, $1$, $2$ y $-3$, por lo tanto, dos plazas no se puede cancelar) y no es para $\mathbb C$ ($1^2 + i^2 = 0$) o $\mathbb F_5$ ($1^2 + 2^2 = 5 = 0$).

En general, para un campo finito con un número impar $q$ de los elementos, la respuesta es que el formulario es anisotrópico si y sólo si $-1$ no es un cuadrado, iff $q \equiv 3 \,(\mathrm{mod}\,4)$. No es muy duro y muy clásica, usted probablemente puede encontrar este resultado en su favorito de álgebra libro.

En general, las preguntas acerca de las formas de ser isotrópico o anisotrópico es una de las cuestiones principales en la teoría algebraica de formas cuadráticas, un tema apasionante en sí mismo. Si usted tiene acceso a ella, el principio de Lam Formas Cuadráticas sobre los Campos es un maravilloso leer (y se que preguntas como "¿es esta la matriz de anillo de un campo?" pop-up, muy naturalmente, en esta teoría).

Answer 2

Esto responde la pregunta general.

Dado un conmutativa sub-anillo de $R$ de el anillo de $n\times n$ matrices sobre un campo $\mathbb F$ que contiene $\alpha I$ por cada $\alpha \in \mathbb F$

Entonces:

$R$ es un campo si y sólo si todos los no-cero $A\in R$ tiene un mínimo polinomio que es irreducible sobre $\mathbb F$.

De hecho, el polinomio característico de cada elemento será un poder perfecto de la mínima polinomio, por lo que si usted tiene $p(x)$ es el polinomio característico de a $A\in R$, entonces el polinomio mínimo será:

$$\frac{p(x)}{\gcd(p(x),p'(x))}$$

cuando la característica de $\mathbb F$ no divide $n$. (Se pone difícil con campos finitos carácter en general, sin embargo.)

O:

$R$ es un campo si y sólo si no hay ningún no-cero cero divisores.

O:

$R$ es un campo si y sólo si todo elemento no nulo tiene un no-cero determinante.

Una parte interesante de punto: Si $n>1$, $R$ no es un campo si hay algún elemento no nulo de a $R$ que tiene un autovalor de a $\mathbb F$.

Answer 3

Bien, usted necesita saber que cada elemento de a $R$ a excepción de la $2\times2$ cero de la matriz es invertible. En otras palabras, usted necesita saber que si tenemos una matriz de $A$ $a,b$ no tanto $0,$, entonces el determinante de a $A$ es distinto de cero. Para que (si existe) de la lista de campos que podemos garantizar esto?

Edit: Como Thomas señala, es necesario que cada elemento no nulo de a $R$ es invertible, pero no suficiente! Debemos ser ver más: a saber, que si $A\in R,$, entonces hay algo de $B\in R$ que $AB=I.$ ver esto, escriba $A=aI+bK,$ como Thomas sugirió. En orden para $A$ a tiene un inverso en $R,$ debe ser $c,d$ en el campo tal que $B:=cI+dK$ satisface $$AB=I.$$ This gives you a system of two linear equations in $2$ variables--$c$ and $d$--for which we must solve in terms of the constants $a,b.$ En el que (si existe) de la lista de campos se puede hacer esto? En el que (si los hubiere) no?

Otra Edición: Trabajar con los casos (que es: $a=0,$ $b=0,$ $ab\ne0,$ nos encontramos con que, de hecho, cada uno distinto de cero de la matriz $A\in R$ tiene una inversa en $R$ si y sólo si $\det A\ne0$ para todos los no-cero $A\in R.$ Puede usarse para clasificar los campos que puede satisfacer la condición deseada?