¿Se cumple el teorema del estabilizador de la órbita para la acción de los monoides?

Question

Para un grupo $G$ actuando en algún espacio $X$ sabemos que hay un teorema del estabilizador orbital .

Mi pregunta es si esta fórmula es válida para la acción de los monoides.

Creo que esta fórmula puede no ser válida, ya que los inversos no existen para todos los elementos. Aunque no estoy seguro.

Mi segunda pregunta es ¿qué información obtenemos de la acción de los monoides? ¿Qué utilidad tiene?

Answer 1

Aunque el estabilizador de órbita se suele presentar en su forma numérica, sólo quiero mencionar que también tiene una versión "categorizada" que no tiene coste adicional: cualquier órbita es isomorfa al espacio coset de un estabilizador (clase de conjugación) correspondiente. En efecto, el mapa $G\to Gx$ dado por $g\mapsto gx$ tiene fibras que son cosets del estabilizador $S_x$ por lo que las fibras forman el espacio coset $G/S_x$ y el mapa correspondiente $G/S_x\to Gx$ es un isomorfismo en la categoría de $G$ -sets.

De todos modos, para explorar la situación con los monoides, lo primero que debemos hacer es transportar las definiciones pertinentes. Está claro lo que debe ser un estabilizador, pero veo al menos tres "órbitas":

1. Una órbita es $Mx=\{mx:m\in M\}$ para algunos $x\in X$ . En este sentido, las órbitas pueden contenerse estrictamente entre sí, no es necesario que haya órbitas máximas o mínimas, y $My$ no puede ser $Mx$ incluso si elegimos $y\in Mx$ .

2. Una órbita $\Omega$ es no vacía y mínima con respecto a la propiedad $M\Omega=\Omega$ . En este sentido, los elementos de $X$ no tienen por qué estar todos en órbitas, y las órbitas de este tipo no tienen por qué existir en absoluto. Es posible que existan órbitas en el sentido anterior de (1), incluso órbitas máximas de este tipo, sin que estas órbitas existan. Una definición más débil tendría $M\Omega\subseteq \Omega$ .

3. Se puede formar el gráfico de acciones cuyos vértices son elementos de $X$ y cuyas aristas dirigidas son de la forma $(x,mx)$ con $x\in X$ y $m\in M$ . Entonces las órbitas en este tercer sentido son los conjuntos de vértices de los componentes conectados de este grafo. En este caso, las órbitas dividen $X$ .

Si se quiere transportar el enunciado de la órbita-estabilizador, se necesita un mapa de $M$ a la órbita, por lo que la mejor idea para enunciar un teorema de OS sería la definición (1). Aunque la definición (3) es la más elegante, creo, las definiciones (2) y (3) no se refieren a los estabilizadores, por lo que veo. Todavía hay una suryección equivariante $M\to Mx$ a través de $m\mapsto mx$ . Ciertamente, la fibra del elemento $x$ es el estabilizador $S_x$ pero hay muchas cosas que fallan en esta imagen:

• La fibra de una traslación no necesita ser un coset del estabilizador.
• Las fibras no tienen necesariamente el mismo tamaño.
• No hay necesariamente una acción inducida de $M$ en el conjunto de fibras.

Esto elimina prácticamente la posibilidad de un estabilizador de órbita para las acciones monoides.

Dos ejemplos principales a explorar: (i) $\Bbb N$ actuando sobre sí mismo o sobre $\Bbb Z$ y (ii) los monoides cíclicos finitos no grupales $\langle x|x^n=x^m\rangle$ actuando sobre grupos cíclicos $\langle x|x^m=x^0\rangle$ (con $n>m>1$ ).

Answer 2

Las acciones de los monoides conducen a la noción de monoide de transformación .

Un caso interesante es el siguiente. Un monoide $M$ actuando sobre sí mismo mediante la multiplicación por la derecha define el (derecha) Gráfico de Cayley de $M$ , habiendo $M$ como conjunto de vértices y aristas de la forma $(u, v, uv)$ , donde $u, v \in M$ . La órbita de un elemento $m$ es el ideal correcto $mM$ y su estabilizador (derecho) es el conjunto $\text{Stab}(m) = \{x \in M \mid mx = m\}$ . El teorema del estabilizador de la órbita ya no se cumple, aunque $M$ es finito y conmutativo. Por ejemplo, si $M = \{1, a, \dotsm, a^n \}$ con $a^{n+1} = a^n$ , entonces para $m = a^{n-1}$ se obtiene $mM = \{a^{n-1}, a^n\}$ y $\text{Stab}(m) = \{1\}$ De ahí que $|\text{Stab}(m)||mM| = 2$ aunque $|M| = n + 1$ .

Un estudio sistemático de los monoides de transformación finitos (y más generalmente de los semigrupos de transformación) puede encontrarse en [1, 2]. También existe una amplia literatura sobre el tema, especialmente en relación con la teoría de autómatas algebraicos. Para un tratamiento más avanzado, véase [3].

1] S. Eilenberg, Autómatas, lenguajes y máquinas Vol. B, Academic Press, Nueva York, 1976.

2] G. Lallement, Semigrupos y aplicaciones combinatorias Wiley and Sons, 1979.

3] J. Rhodes, B. Steinberg, The $q$ -theory of Finite Semigroups, Springer, Monographs in Mathematics, 2009