Forma de las curvas elípticas discriminantes y Weierstrass

Question

Estoy confundido por lo que parece ser información contradictoria.

En este post, la demanda es el hecho de que

"Cada curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$ puede ser escrita en la forma $y^{2}= x^{3}+ax+b$ donde $a,b∈ \mathbb{Z}$ con discriminante $Δ=−16(4a^{3}+27b^{2})≠0$. Por lo que el número de curvas elípticas de discriminante $D$ está acotada arriba por el número de trivial pares de $(a,b)∈ \mathbb{Z}^{2}$ tal que $D=−16(4a^{3}+27b^{2})$."

¿Es esto cierto? este post da un ejemplo de una curva elíptica con coeficientes enteros que no isomorfo a cualquier curva de $y^2 = x^3 + Ax + B$ $A, B$ enteros y discriminante igual a la original. No esta en contradicción con la reclamación original? Es decir, la curva en el segundo enlace no se contabilizará como una curva con su discriminante, ¿verdad?

De hecho, a mí me parece (después de conectar a través de los pertinentes cambios de variables) que la mayoría de las curvas de la forma $$E: y^2 + a_{1} xy + a_{3} y = x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{4}x + a_{6},$$ with discriminant $\Delta$

no se puede escribir en la forma $$ E' : y^{2} = x^{3} + Ax + B $$ with discriminant also $\Delta$ for some $a, B \in \mathbb{Z}$.

Alguna ayuda?

Answer 1

La declaración:

"El número de curvas elípticas de discriminante $D$ está acotada arriba por número de trivial pares de $(a,b)∈ \mathbb{Z}^{2}$ tal que $D=−16(4a^{3}+27b^{2})$."

es ciertamente falso como se indica. Por ejemplo, el discriminante del modelo de la curva de $$E:y^2 + y = x^3 - x^2 - 10x - 20$$ es $-11^5$. Cualquier modelo de la forma $y^2=x^3+Ax+B$ con enteros $A,B$ tiene un discriminante de la forma $D=-16(4a^3+27b^2)$. Pero la ecuación $$-11^5 = -16(4a^3+27b^2)$$ es imposible en números enteros $a,b$ ya que el lado izquierdo es impar y el lado derecho es aún.

Uno podría salvar la declaración anterior, sin embargo, y escribir algo en un espíritu similar. Va desde un genérico de Weierstrass modelo para un corto de Weierstrass modelo significa que el discriminante se multiplica, en el peor de los casos, por $2^{12}3^{12}$. Entonces uno podría decir

"El número de curvas elípticas de discriminante $D$ está delimitado por encima de $n_1+n_2+n_3+n_4$, donde

• $n_1$ es el número de no-trivial de pares $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ tal que $D=-16(4a^3+27b^2)$,

• $n_2$ es el número de no-trivial de pares $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ tal que $2^{12}D=-16(4a^3+27b^2)$,

• $n_3$ es el número de no-trivial de pares $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ tal que $3^{12}D=-16(4a^3+27b^2)$, y

• $n_4$ es el número de no-trivial de pares $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ tal que $6^{12}D=-16(4a^3+27b^2)$."

y creo que esta es una declaración verdadera.