Pregunta sobre el muelle en la superficie

Question

Tengo una pregunta de apariencia relativamente sencilla que no he podido resolver desde hace horas, es una de esas preguntas que te vuelven loco si no sabes cómo hacerlo. Este es el escenario:

Tengo un primavera que está en una superficie plana, los detalles de los resortes son así:

constante del muelle = 100N/m

altura = 0,1m

masa = 0,5kg

g = 10m/s^2

no hay nada unido al muelle. La fuerza inicial ejercida sobre la superficie es de 5N. Comprimo el muelle hasta la mitad hasta que la fuerza ejercida sobre la superficie sea el doble, ahora 10N y luego lo suelto.

La oscilación (simple) comienza, y en un momento dado la fuerza ejercida sobre la superficie será de 0N (sin peso).

Tengo que averiguar cuánto tiempo ha pasado después de soltarlo y alcanzar la ingravidez.

como en: 10(N)---tiempo--->0(N)

p.d. no es una tarea, lee los comentarios.

Answer 1

Básicamente en un punto del muelle donde y es el desplazamiento desde la condición de equilibrio, obtendrás una ecuación diferencial $d^2/dt^2 (Y \times density) = -d^2Y/dZ^2 \times k$ la constante del muelle. (lo siento, no puedo usar Latex) Si postulamos que las soluciones son como $e^{ikZ +i\omega t}$ , $ 2\pi\omega$ será la frecuencia. Enchufe $\omega$ ou $k$ y puedes resolver el otro.

Entonces, en $Z$ =altura de cero la condición de contorno es desplazamiento =0, esto implicará que la parte espacial de la solución tiene el siguiente aspecto $\sin{(kx)}$ . En la parte superior del muelle $dY/dZ$ debe ser cero, de lo contrario habría una fuerza desequilibrada, lo que significa que $kZ$ debe ser un múltiplo impar de $\pi/2$ . El $\omega$ Los valores que satisfacen estas condiciones son sus valores propios.

A continuación tienes que descubrir las amplitudes para el infinito número de modos excitados, es decir su desplazamiento inicial en función de Z es proporcional a Z, y debes encontrar Ai tal que $$Z=\sum_{i= odd N} Ai\cos{(ikZ)} (k*.1 = \pi/2)$$ . Es posible que tengas que buscar el análisis de Fourier para hacerlo, pero deberías obtener una fórmula sencilla para todos los Ai. La solución en cualquier momento futuro será la suma de estos (ten en cuenta que cada término tiene su propia dependencia de la frecuencia). Deberías descubrir que cuando el tiempo es $\pi$ veces el valor propio más bajo, has invertido el valor de F en todas partes, así que esa será tu respuesta.

La física de grado debería enseñar a resolver la ecuación de onda, y mostrarte cómo aplicar estos métodos.

Answer 2

Asumo para simplificar que la constante del muelle tiene un valor bastante alto para que el asentamiento del muelle bajo su propio peso sea insignificante.

Designaciones:

$x$ -Desplazamiento vertical del centro de masa del muelle desde su posición de equilibrio.
$l$ -Desplazamiento vertical de la parte superior del muelle desde su posición de equilibrio.
$m$ -la masa del muelle.
$k$ -la constante del muelle.
$g$ -aceleración gravitacional.

En primer lugar, destaquemos la siguiente relación: $$x=\frac{2}{3}l$$ Su derivación es elemental pero demasiado larga para presentarla aquí.

El siguiente paso es escribir la ecuación de la conservación de la energía:
$$m\frac{\dot{x}^2}{2}+\frac{3}{2}kx^2+mg(x_0-x)= \frac{3}{2}kx_0^2=const$$ $x_0=x(0)$ es un desplazamiento inicial del centro de masa del muelle desde su posición de equilibrio. Después de diferenciar con respecto a $t$ obtenemos la ecuación del movimiento del centro de masa del muelle:

$$\ddot{x}+\frac{3k}{m}x-g=0$$ Según las condiciones iniciales $x(0)=x_0= \frac{2}{3}l_0$ y $\dot{x}(0)=0$ la solución de esta ecuación:
$$x(t)=\frac{g}{\omega_0^2}+\left(x_0-\frac{g}{\omega_0^2}\right)cos(\omega_0t);\omega_0^2=\frac{3k}{m}$$ En el momento de la salida del suelo se mantiene lo siguiente:

$$-mg=kl=\frac{3}{2}kx$$ o $$x=-\frac{2g}{\omega_0^2}$$ El signo menos indica que una coordenada vertical está por encima del equilibrio. Por lo tanto, el tiempo que buscamos es:

$$t=\frac{1}{\omega_0}arccos\left(-\frac{3g}{-g+x_0\omega_0^2}\right)= \frac{1}{\omega_0}\left(\frac{\pi}{2}+arcsin\frac{3g}{x_0\omega_0^2-g}\right)$$ La fórmula tiene sentido si
$$x_0>\frac{4g}{\omega_0^2}$$ ¡Yo señalaría la suposición en la parte superior del post! Para los datos dados, probablemente no sea una buena suposición. Pero como una primera aproximación tal vez se ajuste.