¿Cuál es el valor de $a+b+c$ ?

Question

¿Cuál es el valor de $a+b+c$ ?

si $$a^4+b^4+c^4=32$$ $$a^5+b^5+c^5=186$$ $$a^6+b^6+c^6=803$$

Cómo abordar este tipo de problemas. Cualquier ayuda.

ACTUALIZACIÓN: Gracias a todos por las respuestas. Ahora me doy cuenta de que no hay solución de números enteros. Pero, ¿hay alguna solución de números reales? Tengo curiosidad por saberlo.

Answer 1

Si $x$ es un número entero, entonces $x^4$ y $x^6$ tienen la misma paridad. Por lo tanto, $a^4+b^4+c^4$ y $a^6+b^6+c^6$ son ambos Impares o ambos pares.

Por lo tanto, no hay solución.

Answer 2

Tenga en cuenta que $|n|\ge 3 \implies n^4\ge 81.$ Así, en la primera ecuación es $a,b,c\in\{0,\pm 1,\pm 2\}.$ Es fácil comprobar que la solución es $a=0,b=\pm 2,c=\pm 2,$ o cualquier permutación.

Ahora, $$a^5+b^5+c^5\le 0^5+2^5+2^5=64<186,$$ de donde se puede concluir que no hay solución.

Answer 3

Los valores más bajos posibles para las cuartas potencias de los enteros son $$0^4 = 0 \qquad 1^4 = (-1)^4 = 1 \qquad 2^4 = (-2)^4 = 16$$

Al inspeccionar, queda muy claro que dos de $a,b,c$ debe tener valor absoluto $2$ y uno debe ser cero, para que su primera ecuación se mantenga.

Sin pérdida de generalidad, supongamos $c=0$ y $a = \pm b = \pm 2$ .

Ahora $a^5 + b^5$ debe ser $2^5 + 2^5$ , $-2^5 + 2^5$ o $-2^5 -2^5$ . Ninguno de ellos es igual a $186$ , por lo que no hay soluciones en los números enteros.

Answer 4

Dejemos que $m = \max\{|a|,|b|,|c|\}$ entonces la primera ecuación nos da $$m^4 \leq 32\to m\leq 32^{1/4}$$ y la tercera ecuación nos da $$803 = a^6+b^6+c^6 \leq 3\cdot m^6 \leq 3(32)^{6/4}$$

lo cual es una contradicción ya que $3(32)^{6/4} \approx 543.06 < 803$ por lo que no hay soluciones reales.

Answer 5

Si tienes un sistema de ecuaciones de la forma $$a^{n_1}+b^{n_1}+c^{n_1}=C_1$$ $$a^{n_2}+b^{n_2}+c^{n_2}=C_2$$ $$a^{n_3}+b^{n_3}+c^{n_3}=C_3$$ Lo primero que debes hacer es escribir la primera ecuación como función de una de las variables. En este caso, podría ser $$c=\sqrt[n_1]{C-a^{n_1}-b^{n_1}}$$ Sustituye esto en la segunda ecuación: $$a^{n_2}+b^{n_2}+(\sqrt[n_1]{C-a^{n_1}-b^{n_1}})^{n_2}=C_2$$ Ahora haz un poco de álgebra y trata de escribir esta ecuación como una función de $b$ y la ecuación de $c$ en la última ecuación, y resolver para $a$ . A continuación, puede resolver $b$ conociendo ambos, se puede resolver para $c$ .