Encuentre el derivado$n$ th de$f(x) =\frac{x^n}{1-x}$

Question

• Pregunta

  Encontrar el $n$th derivado de la $f(x) =\frac{x^n}{1-x}$

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• Lo que he logrado hasta ahora

  Primero pensé que yo podría ser capaz de discernir un patrón mediante el cálculo de los primeros derivados de $f(x) =\frac{x^n}{1-x}$ mediante la multiplicación o el cociente regla de los derivados, pero que pronto resultó ser muy tedioso.

  ¿Alguien puede darme una pista sobre un planteamiento de este problema? Tenga en cuenta que esto debe hacerse con las herramientas de introducción de los derivados.

Answer 1

Tenga en cuenta que$$\frac{(1-y)^n}y=p(y)+\frac1y,$ $ donde el grado del polinomio$p$ es$n{-}1$. La derivada$y=1{-}x$ - th es$$\frac{x^n}{1-x}=p(1{-}x)+\frac1{1-x}$ $ como la derivada$n$ - th del polinomio es$$\left(\frac1{1-x}\right)^{(n)}=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ .

Answer 2

Primero encuentre el derivado$n^{\textrm{th}}$ de$\frac{1-x^n}{1-x}$.

Insinuación: $(1-x^n) = (1-x)(1+x+\ldots + x^{n-1})$

Answer 3

Deje$f(x)=h(x)g(x)$ donde$h(x)=x^n$,$g(x)=\frac{1}{(1-x)}$.

Es fácil demostrar que:

ps

ps

Puede probar esto, por ejemplo, discerniendo el patrón.

Luego por inducción y regla de cadena probar que:

ps

Asi que:

ps

Answer 4

Haciendo caso omiso de las cuestiones de la convergencia, tenemos $$ f (x) = \ frac {x ^ n} {1-x} = x ^ n \ cdot \ frac1 {1-x} = x ^ 2 \ cdots) = x ^ n x ^ {n 1} x ^ {n 2} \ cdots $$ de tal manera que$$f^{(n)}(x)=n!+\frac{(n+1)!}{1!}x+\frac{(n+2)!}{2!}x^2+\cdots=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ $ notando que el término medio es la serie Taylor del lado derecho.

Answer 5

Tal vez usted puede utilizar un método poco complicado:

En el análisis complejo, usted tiene$f^{(n)}(x)= n! \oint f(z)/(z-x)^{n+1} dz$, donde el contorno está alrededor de$z=x$, entonces, puede considerar un contorno en el infinito, de acuerdo con el teorema del residuo, la integral es igual al% , pero la integral del infinito es cero, por lo que debemos tener la integral igual a menos el residuo en$z=x, z=1$, que es un polo simple para que tengamos directamente la respuesta.